Matematicos

GEORG CANTOR

Georg Cantor de nacionalidad Rusa, nació en San Petersburgo, el 3 de marzo de 1845; falleció en Halle, Alemania el 6 de enero de 1918 fue un matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).

Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico. Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva provocada por sus intentos de comprobar matemáticamente la Hipótesis del continuo.

Biografía

Nació en el seno de una familia judía. Su padre fue el comerciante Georg Waldemar Cantor y su madre María Bohm. Su padre había nacido en Copenhague, Dinamarca, pero emigró siendo joven al lugar donde nacería su hijo en 1845. Una enfermedad pulmonar provocó que el padre se trasladara en 1856 a Fráncfort, Alemania. Todos estos eventos provocaron que distintas patrias reclamaran como hijo a Georg Cantor.

La educación primaria del vástago de Georg Waldemar fue confiada a un profesor particular y después siguió un curso en la escuela elemental de San Petesburgo. Cuando la familia se mudó a Alemania, Cantor asistió a escuelas privadas de Fráncfort y Damnstandt primero, pero luego ingresó al Instituto de Wiesbaden, a sus 15 años.

Los estudios universitarios de Georg Cantor iniciaron en Zúrich, en 1862. Pero pasó a la Universidad de Berlín al siguiente año, después de la muerte de su padre. En Berlín se especializó en matemáticas, filosofía y física.

El interés de joven recayó en las dos primeras. Tuvo como profesores en el campo de matemáticas a Ernst Kummer, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker. Uno de los actos de Cantor fue la siguiente afirmación: ax² + by² + cz² = 0, en la que a, b y c son números enteros.

A los 27 años dio clase en la Universidad de Halle. A partir de 1872 fue catedrático. Sus primeros trabajos con las series de Joseph Fourier lo llevaron al desarrollo de una teoría de números irracionales.

En 1874, apareció el primer trabajo de Cantor sobre la Teoría de conjuntos. El estudio de los infinitos fue considerado por su maestro Kronecker como locura matemática.

Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.

Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría. El constructivismo negará este axioma, entre otras cosas, desarrollando toda una teoría matemática alternativa a la matemática moderna.

Empezó a interpretar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema.

Georg Cantor falleció en Halle, Alemania el 6 de enero de 1918, a los 73 años de edad. Actualmente, su obra es ampliamente reconocida y ha sido acreedora de varios honores.

DAVID HILBERT

David Hilbert nació el 23 de enero de 1862, en Königsberg, Prusia Oriental – falleció el 14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania fue un matemático alemán,

Reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.

En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teoría general de la relatividad, David Hilbert se adelantó a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse el mérito.1

Vida

Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Kaliningrado, Rusia). Se graduó en el liceo de su ciudad natal y se matriculó en la Universidad de Königsberg ("Albertina"). Obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen ("Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares"). Hermann Minkowski coincidió con Hilbert en la misma universidad y momento como doctorando, y llegaron a ser amigos íntimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recíproca en varios momentos de sus carreras científicas.

Hilbert permaneció como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de Göttingen, que en aquél momento era el mejor centro de investigación matemática en el mundo, donde permanecería el resto de su vida.

El teorema de finitud

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le llevó en 1888 a la demostración en su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de generadores para formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este método a funciones con más de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el Teorema de la Base de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes de cuánticas en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algorítmica sino mediante un teorema de existencia.

Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen. Gordan, el experto en teoría de invariantes para la Mathematische Annalen, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue:

Esto es teología, ¡no matemática!

Klein, por otro lado, reconoció la importancia del trabajo y se aseguró de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Tras leer el manuscrito, Klein le escribió, diciendo:

Sin duda éste es el trabajo más importante en álgebra general que los Annalen han publicado nunca.

Más adelante, cuando la utilidad del método de Hilbert había sido reconocida universalmente, el propio Gordan diría:

He de admitir que incluso la teología tiene sus méritos.

Axiomatización de la geometría

Artículo principal: Axiomas de Hilbert

El texto Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría) que Hilbert publicó en 1899 sustituye los axiomas de Euclides tradicionales por un conjunto formal de 21 axiomas. Evitan las debilidades identificadas en los de Euclides, cuyos trabajos seguían siendo usados como libro de texto en aquél momento. El estudiante estadounidense de 19 años Robert Lee Moore publicó de forma independiente y contemporánea un conjunto equivalente de axiomas. Algunos de ellos coinciden, mientras que algunos de los axiomas del sistema de Moore son teoremas en el de Hilbert, y viceversa.

El enfoque de Hilbert marcó el cambio al sistema axiomático moderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometría puede tratar de cosas, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado explícito a los conceptos indefinidos. Como dice Hilbert, los elementos tales como el punto, la recta, el plano y otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute son sus relaciones definidas.

Hilbert

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