Metodos Numericos

Acerca de la Regla de Simpson

La fórmula o regla fue utilizada por primera vez por Evangelista Torricelli, pero debe su nombre al matemático inglés Thomas Simpson, corresponde a la regla del tonel que Johannes Kepler ya había formulado en 1615.

Sobre la historia de su surgimiento, Kepler informa en la dedicatoria de su publicación posterior: Después de que la primera esposa de Kepler había muerto en Praga en 1611, Kepler se casó nuevamente en Linz, donde ahora trabajaba en 1613.

Para la boda compro algunos toneles de vino. Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurrió con una vara de medir y determinó el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo método, consistente en que introducía la punta de metal de la vara de medir a través de la piquera, en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba la medida del volumen del contenido. Kepler se sorprendió con aquello de que una diagonal a través del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este método, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo más ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la vista.

A raíz de esto, Kepler formuló en 1615 el escrito Nova Stererometría doliorum vinariorum (Nuevo cálculo del contenido de los toneles de vino), en el que buscaba métodos verificables para el cálculo del contenido de los toneles de vino. Uno de estos métodos consistió en aproximar la curvatura del barril por una parábola, dado que los cálculos con ayuda de parábolas ya se podían realizar muy exactamente desde Arquímedes.

Entre otras cosas, Kepler describió en este texto una fórmula para el cálculo de la capacidad (más precisamente, del volumen) de barriles de vino con formas irregulares.

Esta fórmula arroja valores exactos para el troco de la pirámide (incluida la pirámide), la esfera, el paraboloide elíptico, el hiperboloide de una hoja y todas las demás superficies de un cuerpo que pueden ser generadas por secciones planas perpendiculares al eje del cuerpo.

Thomas Simpson (1710 – 1761)

Nació en Market Bosworth, Leicestershire, Inglaterrra, fue el hijo de un auto didacta tejedor. El padre de Simpson, esperaba que su hijo tomara la misma profesión que él; sin embargo, con el suceso de un eclipse solar en 1724, Thomas Simpson se inclinó profundamente por la matemática, lo cual cambió su vida para siempre.

Simpson trabajó en teoría de la probabilidad y aproximación de errores. En 1740, publicó un documento llamado “La naturaleza de las leyes del azar” y, en 1742, publicó la “Teoría de rentas y reversiones”, rama de la matemática actuarial que se aplica a los seguros y pensiones.

En nuestros días es muy recordado por la fórmula de aproximación de integrales: Regla de Simpson.

Regla de Simpson de 1/3

En análisis numérico, la regla o método de Simpson y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que tiene como propósito mejorar la aproximación de la integral. Consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva.

Suponemos que queremos encontrar una aproximación para:

∫_a^b▒f(x)dx

Supongamos que contamos con los siguientes datos

a

x_m b

f(a)

f(x_m ) f(b)

donde x_m es el punto medio entre a y b.

∫_a^b▒f(x)dx≈∫_a^b▒〖P_(2 ) (x)dx〗

donde P_(2 ) (x) es el polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado.

Recordemos la fórmula del polinomio cuadrático interpolador de Lagrange:

P_(2 ) (x)=y_0 ((x-x_(1 ) )(x-x_2))/((x_0-x_1 )(x_0-x_2))+y_1 ((x-x_0 )(x-x_2))/((x_1-x_0 )(x_1-x_2))+y_2 ((x-x_0 )(x-x_1))/((x_2-x_0 )( x_2-x_1))

Sustituyendo en los nodos dados, tenemos que:

P_(2 ) (x)=f(a) ((x-x_(m ) )(x-b))/((a-x_m )(a-b))+f(x_(m ) ) ((x-a)(x-b))/((x_m-a)(x_m-b))+f(b)((x-a)(x-x_m))/((b-a)( b-x_m))

Si denotamos entonces:

h=(b-a)/2=x_m -a=b-x_m

Es decir,

y sustituyendo en el polinomio de Lagrange tenemos:

P_(2 ) (x)=f(a) ((x-x_(m ) )(x-b))/((-h)(-2h))+f(x_(m ) ) ((x-a)(x-b))/((h)(-h))+f(b)((x-a)(x-x_m))/((2h)(h))

=f(a)/(2h^2 ) (x-x_m )(x-b)-f(x_m )/h^2 (x-a)(x-b)+f(b)/(2h^2 )(x-a)(x-x_m)

Veamos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x-α)(x-β). Calculemos entonces la integral de tal expresión:

∫_a^b▒(x-α)(x-β)dx

Utilizaremos la fórmula de integración por partes

∫▒〖u∙dv=〗 u∙v-∫▒〖v∙du〗

Realizando integración por pa|rtes, tenemos que:

u=x-α→du=dx

dv=(x-β)dx→v=∫▒〖(x-β)dx=(x-β)^2/2〗

Por lo tanto:

∫▒〖(x-α)(x-β)dx=(x-a) (x-β)^2/2-∫▒(x-β)^2/2〗 dx

=(x-a) (x-β)^2/2-(x-β)^3/6

Usando esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de P_2 (x), obtenemos que:

∫_a^b▒〖P_2 (x)=⏟(∫_a^b▒〖f(a)/(2h^2 ) (x-x_m )(x-b)dx〗)┬(I_1 )-⏟(∫_a^b▒〖f(x_m )/h^2 (x-a)(x-b)dx〗)┬(I_2 ) 〗+⏟(∫_a^b▒(f(b))/(2h^2 ) (x-a)(x-x_m )dx)┬(I_3 )

Simplifiquemos la integral

I_1=∫_a^b▒(x-x_m )(x-b)dx

=├ (x-x_m ) (x-b)^2/2-(x-b)^3/6]_a^b

=[(b-x_m ) (b-b)^2/2-(b-b)^3/6]-[(a-x_m ) (a-b)^2/2-(a-b)^3/6]

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