Metodos Numéricos

1).- Por que los métodos numéricos cerrados se llaman cerrados?

Los métodos cerrados se llaman así, porque se necesitan 2 valores iniciales para la raíz. Dichos valores iniciales, deben “encerrar”, o estar a ambos lados de la raíz.

2).- ¿Con que otros nombres se conoce el método de la bisección?

El método de bisección se conoce también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental (localizan un intervalo en el que se halla la raíz), en donde el intervalo se divide siempre a la mitad.

3) ¿Como se puede calcular a priori el número de iteraciones requerido para obtener un error absoluto determinado?

El número de iteraciones para obtener un error absoluto se calcula a priori; esto es antes de empezar las iteraciones, donde se observa que antes de empezar esta técnica, el error absoluto es:

Ea0 = Xu0 – Xl0 = ∆X0

Donde los superíndices definen la iteración. Por lo tanto antes de empezar el método tiene la iteración cero. Después de la primera iteración el error será:

Ea1 = ∆Xo/2

Debido a que en cada iteración se reduce el error a la mitad, la formula general que relaciona el error en números de iteraciones n, es

Ean = ∆Xo/2^n

Si E a,d es el error deseado, en esta ecuación se despeja:

n = log⁡〖((∆x^(0 )))/(Ea,d )〗/log⁡2 = log2 (〖∆x〗^0/(E a,d))

donde el intervalo inicial fue ∆x0= 16 – 12 = 4, y después de 6 iteraciones, el error absoluto será.

E a = (|14.875-14.75|)/2 = 0,0625

Si se sustituyen los valores en la ecuación anterior resulta:

n = log⁡〖(4/(0,0625 ))〗/log⁡2 = 6

entonces, si se sabe de antemano que un error menor a 0,0625 es aceptable, la formula indica que con 6 iteraciones se consigue el resultado deseado.

4) Cual es la mejora del método de la falsa posición respecto del de la bisección?

El método de falsa posición es más eficiente que el de bisección ya que el error decrece con mayor rapidez, debido a un esquema más eficiente para la localización de raíces, tomando un valor que permanece fijo durante los cálculos mientras otro valor converge hacia la raíz.

5) Despeje Xr a partir de la relación de triángulos semejantes a partir del método de la bisección.

Usando triángulos semejantes la intersección de la línea recata con el eje de las x se estima mediante:

(f(xl))/(Xr-Xl)=f(xu)/(Xr-Xu)

En la cual se despeja Xr.

Xr = Xu - (f(Xu).(Xl-Xu))/(f(Xl)-f (Xu))

Esta es la formula de la falsa posición. El valor de Xr calculado se remplazara después, a cualquiera de los dos valores iniciales Xl o Xu, y da un valor de la función con el mismo signo f(Xr). De esta manera, los valores de Xl y Xu siempre encierran la verdadera raíz.

Usando la relación de triángulos semejantes:

La intersección de la línea recta con el eje x se estima:

f(xl) = f(xu)

xr-xl xr-xu

Multiplico cruzado y obtengo

f(xl) (xr – xu)= f(xu) (xr – xl)

Reagrupo términos y ordeno

xr [f(xl)- f(xu)]= xu f(xl)- xl f(xu)

Paso dividiendo el término que multiplica la xr

xr = xu f(xl)- xl f(xu)

f(xl)- f(xu)

Separo los términos

xr = xu f(xl) - xl f(xu)

f(xl)- f(xu) f(xl)- f(xu)

Sumo y resto xu en el lado derecho

xr = xu + xu f(xl) - xu - xl f(xu)

f(xl)- f(xu) f(xl)- f(xu)

Agrupando términos se obtiene

xr = xu - f(xu)( xl-xu)

f(xl)- f(xu)

6.-¿Cuando no conviene utilizar el método de la falsa posición? ¿Cómo se salva esto en un algoritmo de computadora?

Existen casos en los cuales el método de falsa posición converge lentamente; esto se debe en gran parte a su unilateralidad, es decir, una vez iniciado el proceso iterativo uno de los extremos del intervalo permanece fijo. Cuando esto ocurre, lo conveniente en algunos casos, es emplear el método de bisección.

Sin embargo, para corregir el problema del método de falsa posición se ha desarrollado un algoritmo que surge a partir del algoritmo de método de bisección:

Donde lo que se modifica es la ecuación de bisección por la de falsa posición:

xr = xu - f(xu)( xl-xu)

f(xl)- f(xu)

7.-¿Cómo se pueden determinar los valores iniciales para los métodos numéricos cerrados?

Los valores iniciales para métodos cerrados se determinan a través de métodos gráficos, que también se emplean para visualizar propiedades de función y el comportamiento de los métodos.

Otra opción es incorporar una búsqueda incremental, que consiste en empezar en un extremo de la región de interés y realizar evaluaciones de la función con pequeños intervalos a lo largo de la región. Cuando la función cambia de signo, se supone que la raíz cae dentro del incremento. Los valores de “x” de los extremos del intervalo pueden servir de valores iniciales para el mismo.

8.-¿Por qué los métodos abiertos se llaman abiertos?

Los métodos abiertos se denominan así por que no necesitan encerrar la raíz dentro de un intervalo;

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