Metodos Numericos

UNIDAD 5.- Solución de ecuaciones diferenciales.

5.1 Métodos de un paso.

5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado.

Método de Euler

Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.

La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi (ver Gráfico Nº01). [1]

Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:

[2]

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

Error para el método de Euler

La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.

1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que pueden retener una computadora.

Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.

5.1.2 Método de Runge-Kutta.

Introducción:

La computadora, es la herramienta mas poderosa hasta ahora conocida, para la solución de problemas en el campo de las ciencias exactas, en este caso los métodos numéricos, como punto principal por sus aplicaciones en la ingeniería.

Los métodos numéricos son técnicas, donde es posible resolver los problemas por medio de operaciones aritméticas, estos métodos implementan un buen numero de cálculos que son por demás demasiado lentos si se hacen manualmente, gastando mucha energía en la técnica misma de solución en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación.

El trabajo monótono que se hacia anteriormente al uso de la computadora, hace de importancia, el dominio de los métodos numéricos, los cuales se deben llevar a cabo en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras para de esa forma resolver los problemas de ingeniería mucho mas fácilmente y eficientemente.

Objetivo de los métodos de Runge-Kutta:

El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud mas alto que este.

Modelos matemáticos:

Los conocimientos científicos se usan rutinariamente por los ingenieros en el diseño de elementos tales como maquinas, circuitos eléctricos, estructuras etc.

Estos conocimientos son muy útiles cuando se expresan en forma de un modelo matemático, el cual se puede definir como una ecuación que expresa las características fundamentales de un sistema o proceso físico en términos matemáticos, siendo clasificados estos modelos, desde simples relaciones algebraicas hasta grandes y complicados sistemas de ecuaciones diferenciales.

Análisis de un modelo matemático:

Un modelo matemático: es una expresión matemática como veremos en el siguiente ejemplo:

Formula de la segunda ley de newton:

F= ma donde : F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo.

m es la masa del objeto.

Utilizando esta ley, vamos a determinar la velocidad de un paracaidista en caída libre.

Para este caso puede crearse un nuevo modelo, expresando la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt) .

Y sustituir en la ecuación de nueva forma:

F=m(dv/dt)

Así la masa, multiplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la suma de fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Si la fuerza total cuando el objeto cae es positiva el objeto acelera, pero si es negativa desacelera, pero si la fuerza neta es cero la velocidad permanecerá a un nivel constante.

Para un cuerpo que cae la fuerza , la fuerza total esta compuesta por dos fuerzas contrarias, la atracción debida a la gravedad Fd, y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire Fu.

Por lo tanto: F= Fd + Fu

La fuerza debida a la gravedad Fd se puede reescribir:

Fd=mg donde g es la constante de gravitación que equivale a 980 cm por segundo cuadrado.

La resistencia del aire se puede formular como una aproximación sencilla linealmente proporcional a la velocidad:

Fv = -cv donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de arrastre.

Entonces la fuerza total es la diferencia de las fuerzas hacia abajo y hacia arriba, así que combinando las ecuaciones anteriores:

M(dv/dt)= mg – cv o dividiendo cada lado entre m:

esta es la ecuación de un cuerpo que cae a las fuerzas que actúan sobre el y es una ecuación diferencial porque esta escrita en términos de la razón diferencial dv/dt.

Usando el calculo y resolviendo esta ecuación diferencial se puede llegar a la siguiente formula que expresa la velocidad del paracaidista en función del tiempo.

Ec(principal).

A continuación se observara la diferencia existente entre tres tipos de soluciones para el problema del paracaidista analizando las ventajas de cada uno de ellos con respecto a los demás:

Enunciado del problema de un paracaidista que cae:

MÉTODO ANALÍTICO:

Un paracaidista con una masa de 55500 g salta de un aeroplano apliquese la ecuación principal para calcular la velocidad antes de abrir el paracaídas. El cociente de arrastre c es aproximadamente igual a 10500 g/s.

Solución :

Al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación principal se obtiene

Al dar varios valores de t se obtienen las velocidades se obtienen las velocidades para el tiempo, los resultados se presentan a continuación:

TABLA DE RESULTADOS

Tiempo en segundos Velocidad en cm/s.

0 0

2 1631.7

4 2749.5

6 3515.1

8 4039.6

10 4398.8

12 4644.9

Al infinito 5180.0

Nota: La escala de la velocidad en la gráfica es de 1=1000.

Si lo has notado para sacar el resultado de tus cálculos de la tabla y gráfica anteriores necesitas estar sustituyendo en la formula de v(t) esto hace el método analítico cansado y repetitivo, pero es una solución analítica exacta porque satisface la ecuación diferencial original.

SOLUCIÓN NUMÉRICA:

La aproximación de la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo puede representarse de la siguiente forma

Y llegamos a ordenar esta ecuación de la siguiente manera

la cual puede emplearse para extender el calculo , así que aplicandola directamente se dirá

Nuevo valor = valor anterior + valor estimulado x incremento del tiempo.

de v. de v de la pendiente

Así pues efectuando el mismo calculo para el problema se procede como sigue:

Sustituyendo en la ecuación, nuevamente vemos que necesitamos aplicar las matemáticas sin el auxilio de una computadora, y nos vamos a tardar un buen rato .

v(4)= 2330.8 cm/s.

Y así sucesivamente se continua con el calculo para obtener los valores en la siguiente tabla

Tiempo en seg. Vel. En cm/s.

0

2

4

6

8

10

12

al infinito.

Puede verse por el resultado en la tabla anterior que la solución por un método numérico se aproxima bastante bien a la solución exacta, pero debido al empleo de rectas para aproximar la función que es continuamente curva, existe discrepancia entre los resultados de la tabla del método analítico y la de este método , una manera de minimizar el error es utilizando intervalos menores de tiempo en el muestreo de la ecuación, y así los segmentos de recta seguirán

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