Metodos Numericos

Aritmetica finita de punto flotante.

Representación del punto-flotante. Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la computadora usando la forma de punto flotante. Con este método, el número se expresa como una parte fraccionaria, llamada mantisa o significando, y una parte entera, denominada exponente o característica, esto es.

donde m = la mantisa, b = la base del sistema numérico que se va a utilizar y e = el ex- ponente. Por ejemplo, el número 156.78 se representa como 0.15678 × 103 en un sistema de base 10 de punto flotante.

Solución de Ecuaciones Cuadraticas.

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Unidad 2

Presentación

Muchas de las ecuaciones fundamentales en ingeniería están basándose las leyes de la conservación en relación a la masa, energía, etc. Esto es que las ecuaciones relacionan a las propiedades del sistema y las fuerzas que actúan sobre ellas y las respuestas del sistema a este conjunto de situaciones.

Objetivo

El alumno al final conocerá y aplicara los diferentes métodos de aplicación de solución a un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices con solución de determinantes y método gaussiano.

Matrices y sistemas de Ecuaciones Lineales.

Determinantes y matrices.

La regla de Cramer es otra técnica de solución adecuada para un sistema pequeño de ecuaciones. Antes de hacer una descripción de tal método, se mencionará en forma breve el concepto de determinante que se utiliza en la regla de Cramer. Además, el determinante tiene relevancia en la evaluación del mal condicionamiento de una matriz.

Determinantes. El determinante se puede ilustrar para un sistema de tres ecuaciones simultáneas:

donde [A] es la matriz de coeficientes:

El determinante D de este sistema se forma, a partir de los coeficientes del sistema, de la siguiente manera:

Aunque el determinante D y la matriz de coeficientes [A] se componen de los mismos elementos, son conceptos matemáticos completamente diferentes. Por esto, para distinguirlos visualmente se emplean corchetes para encerrar la matriz y líneas rectas verticales para el determinante. En contraste con una matriz, el determinante es un simple número. Por ejemplo, el valor del determinante de segundo orden

Se calcula como:

En el caso del determinante de tercer orden ,el determinante, que es un simple valor numérico, se calcula así.

donde a los determinantes de 2 por 2 se les llama menores

Eliminacion Gaussiana.

Es un metodo matriacial que se utiliza con restricciones de un problema de optimizacion lineal dando una funcion objetivo maximizar o minimizar.

Una serie de variables respecto a restricciones se resuelve mediante matrices aplicando la inversa considerando la matriz identidad con variable de holgura.

En este método se aplica una tabla simplex para cada restricción se aumenta una variable de olgura para convertir las desigualdades en igualdades. La inclusión de variable de olgura forman la matriz de identidad las cuales tiene unos en sus diagonales.

Este método se resuelve mediante interacciones es decir se tiene que estar resolviendo asta que se llegue a la obtimalidad.

Cj = Coeficiente

CB= Coeficiente de Variable Básica.

VB= Variable Básica.

Cj-Zj= Obtimalidad

Z = Sumatoria de Cb+aj

Sol= Solución

Θ= Mínimo Coeficiente.

Factorizacion de Matrices.

La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de eliminacióń gaussiana aplicado a la matriz y que es conveniente en términos del número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes. En la lectura, primeramente consideraremos la factorización LU sin intercambio basada en matrices elementales y que es conocida como de Doolittle y posteriormente veremos el algoritmo que da la factorización PA = LU.

Suponga que la matriz A es una matriz m × n se puede escribir como el producto de dos matrices:

A=LU

donde L es una matriz triangular inferior m × m y U es una matriz escalonada m × n. Entonces para resolver el sistema:

A x = b

Escribimos:

A x = (L U) x = L (U x) .

Una posible estrategia de solución consiste en tomar y = U x y resolver para y:

L y = b.

Como la matriz L es triangular superior este sistema puede resolverse mediante sustitución hacia abajo, lo cual se hace fácilmente en m2 FLOPS. Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve despejando x de

U x = y.

Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede resolverse en caso de tener succión mediante sustitución hacia atrás,

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