Tipo De Conjunto

MATEMÁTICAS BÁSICAS

TEORÍA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x1∈ A . En caso de que un elemento y1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y1∉ A

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:

A = { xP(x) }= {x1,x2 ,x3 ,⋅⋅⋅,xn }

que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como x1,x2,x3, etc .

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos .

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

Ejemplo.

Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.

Solución.

Por extensión: V ={a,e,i,o,u}

Por comprensión: V ={xx es una vocal}

Por diagrama de Venn:

V

Ejemplo.

Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.

Solución.

Por extensión: P ={Mercurio,Venus,Tierra,Marte,Júpiter,Saturno,Urano,Neptuno,Plutón}

Por comprensión: P ={ xx es un planeta del sistema solar }

Por diagrama de Venn:

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un subconjunto de B . La notación A ⊂ B significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto de B ” o “ A está contenido en B ”.

Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es subconjunto de B . En este caso la notación A ⊄ B significa que A no es un subconjunto de B .

Gráficamente, esto es:

En los ejemplos A⊂B

B⊄A

anteriores, si A⊄B

B⊄A

F ={a,e,o} es el A⊄B

B⊄A

conjunto de las

vocales fuertes y

S ={Mercurio,Venus} es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que:

F ⊂V y que S ⊂ P . De la misma forma, nótese como: F ⊄ P , S ⊄ V , F ⊄ S y S⊄F .

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio de los símbolos η o # .

De los conjuntos anteriores: η(V)=5 , η(F)=3, η(P)=9 y η(S)=2 .

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

• Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El

conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos.

φ={ xx son los dinosaurios que viven en la actualidad } {}={ xx son los hombres mayores de 300 años } φ={ xx son números

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