La teoría de conjuntos, es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos,

INTRODUCCIÓN:

La teoría de conjuntos, es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos la importancia de la teoría de conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, salvo la teoría de categorías en su forma explica, los principios y terminologías de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinitos

Definición de conjunto:

Un conjunto señala a la totalidad de los entes que tiene una propiedad en común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión  (enumerando uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona solo una característica común a todos los elementos).

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

 Ejemplos:

1: S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

2: números naturales menores a 8  A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7}    

3: números primos P = {2, 3, 5, 7,11, 13,...}                    

Elementos de un conjunto:

En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto que forma parte de ese conjunto (o familia).

Ejemplos:

1: Al escribir , estamos diciendo que los elementos del conjunto son los números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de  A sería, por ejemplo, {1,2}  el cual es un subconjunto de A

2: Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos  el conjunto  B= {1,2{3,4}}   Los elementos de B no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, B tiene sólo tres elementos: 1, 2 y 3: El conjunto  {3,4}

3: Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, C = {rojo, verde, azul},  es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul

Determinación de conjuntos:

Por Extensión:

Un conjunto "D" está determinado por extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus elementos o cuando, si son números, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos) Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser determinados de esta sobre todo cuando el número de elementos que constituyen el conjunto es muy elevado.

Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjunto de estrellas del universo. Es por ello, que necesariamente, se debe emplear     otro procedimiento para determinar los conjuntos que tienen muchos elementos. A esta otra forma de determinar a un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto.

Por Comprensión:

Un conjunto "D" está determinado por comprensión cuando se enuncia una ley o una función que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto D.

Ejemplos:

1: Por extensión:

D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Por comprensión: (una posible respuesta sería)

D = {x/"x" es un día de la semana}

Se lee:

"El conjunto D está formado por todos los elementos "x" que satisfacen la condición de ser un día de la semana".

Otra posible respuesta sería:

"D es el conjunto constituido por todos los elementos "x" tal que X es un día de la semana"

2: Por extensión:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………}

Por comprensión: (una posible respuesta sería)

C = {x/x = (2n – 1) ^ x(N

"C es un conjunto formado por los elementos "x" tal que "x" es un número impar y "x" pertenece  al conjunto de números naturales

Tipos de conjunto:

Un conjunto es una colección o agrupación de objetos o elementos que responden a una misma categoría o grupo. Haciendo un análisis de los miembros que lo conforman pueden existen los siguientes tipos.

*conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo1: el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase 2: los meses del año

*Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo1: de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta 2: los números

*Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo1: la letra A 2: el mes de febrero

*Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo1: un unicornio, en el caso del elemento inexistente 2: conjunto de números impares múltiplo de 2

*Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo1: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  2:  el conjunto  C está compuesto por {rojo y verde} mientras que el conjunto D está compuesto por {amarillo y azul} ,  el conjunto universal es {rojo, verde, amarillo, azul}

*Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo1: el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el  B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común 2: el conjunto  X es un perro y el conjunto Y es un gato por lo tanto ninguno coincide

*Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo1: el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes 2: el conjunto 1 es, a, b, c y el conjunto 2 es d, e, f  los 2 conjuntos contienen la misma cantidad de letra por lo cual son equivalentes

*Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo1: el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden  2: conjunto D 1, 2, 3, 4, 5, conjunto C  4, 3, 2, 5, 1

*Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo1: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5 2: conjunto D  2, 6, 10 conjuntos X 4,8, 12 de esta manera 12y10, 6y8, 2y4 mantiene una distancia de 2

*conjunto no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros. Por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo1: el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8 2: conjunto 1 es a, b, c el conjunto 2 b, c, a

*conjunto homogéneo: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Po Ejemplo1: el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8, aquí todos los elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo 2: conjunto 1 a, b, c, d, e  aquí todos los elementos son letras

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