Caos, Fractales Y Cosas Raras

CAOS, FRACTALES Y COSAS RARAS

Este libro Cuenta de la importancia de los objetos y estructuras fractales así como el hecho de haber sido estructuras geométricas cuyo estudio fue ignorado durante mucho tiempo, afirma que el mismo Newton ya había encontrado este tipo de comportamientos, sin embargo causo poco interés a los matemáticos en su momento, siendo hoy una de las aéreas de más vertiginoso desarrollo en el área de las matemáticas, la física, la medicina e incluso en la lingüística.

Capítulo I. Introducción. En este capítulo el autor da una breve descripción acerca de los temas que se abordaran en cada uno de los capítulos que contiene el texto menciona también que es por ello que los fenómenos se estudiaran por aparte en cada capítulo con el fin de visualizar de forma más amplia todas las ciencias donde tanto la teoría del caos como las formas fractales tienen sus aplicaciones desde medicina e incluso en las ciencias sociales como en economía, pretende también este capítulo despertar el interés por la obra en cada uno de sus capítulos.

Capítulo II. La geometría euclidiana lo que nos enseñaron en la escuela.

El autor comienza por recordar los teoremas más fundamentales de la geometría euclidiana, como lo son las dimensiones permitidas, y algunos teoremas acerca de triángulos y ángulos, así también explica que a un punto se le asocia una dimensión 0 , es decir no tiene tamaño, la línea se define como una secuencia de puntos con dimensión 1 y a en cuanto superficies se dice que estas no tiene espesor por lo que se les asigna una dimensión 2.

Capítulo III. Ejemplos de algunas cosas raras. Entonces el escritor comienza a introducir ejemplos de fenómenos simples en los que la geometría euclidiana parece no ser lo adecuado para analizar estos fenómenos ya que por ejemplo , le geometría euclidiana supone que las líneas son totalmente perfectas y carecen de anchura cosa que resulta imposible de obtener, como ejemplo muestra los problemas típicos que se presentan al intentar medir una playa con una unidad h; aproximando esta unidad a un valor muy cercano a cero se ilustra como una distancia “simple” puede tender a poseer una longitud casi infinita.

Capítulo IV. A veces se está mirando algo pero no se ve. Algunos casos históricos. Como caso histórico nos habla del movimiento Browniano en algunas partículas como las del aire que son posibles de apreciar en un cine, este es un movimiento en zigzag, y sin entraren alguna clase de detalle de este movimiento explica que sin importar la escala de tiempo en la que se grafique este tipo de momento este conserva una estructura similar. Este tipo de línea fue denominada por primera vez fractal por el científico Benoit Mandelbrot.

Capítulo V. Los fractales. Nuevas dimensionalidades. Ahora una vez introducido el concepto de fractal se proporcionan algunas instrucciones para la construcción del fractal conocido como curva de koch, que es de naturaleza fractal.

Esta clase de entes geométricos tiene la característica de que el perímetro medido para tiende a ser infinito debido a que la unidad de longitud se vuelve cada vez más pequeña hasta alcanzar un límite.

Capítulo VI. Más sobre fractales similitud. Otra característica importante de los fractales, es el hecho de que son totalmente auto similares es decir que un forma geométrica más elemental de la figura puede reproducirse indefinidamente siendo posible apreciar claramente a cualquier escala formas que son auto similares con las encontradas a simple vista estas son las que la geometría euclidiana deja pasar por alto este tipo de naturaleza geométrica común a las figuras de que ya se tenían calculadas; en la mayoría de los objetos.

Capítulo VII. Condiciones iniciales y su importancia. Las condiciones iniciales le permitieron a newton encontrar la fórmula en cuanto a similitud propia mostraba un evento de partículas que rebotaba por un periodo de tiempo al dejarlo caer desde una altura cualquiera, el movimiento pareciera que tiende a cambiar mucho al cambiar mínimamente las condiciones iniciales.

Capítulo VIII. Caos. Fenómenos no lineales. Muchos fenómenos completamente distintos, tienen comportamientos muy parecidos.

Con un estudio se puede encontrar una regla que nos dijera el comportamiento del fenómeno en los siguientes años. En matemáticas a esa regla se le llama función. Analizando las graficas generadas se observa una región caótica, se presenta una bifurcación y siguen éstas, hasta que se llega nuevamente a una región caótica. Queda demostrado en varias funciones distintas en las que se aprecia similitud cualitativa en sus gráficas. Este comportamiento es características de las funciones no lineales.

Capítulo IX. Más sobre caos. Llega cierto momento en que ya no se puede hablar de periodo, se ha entrado en régimen caótico.

Otra forma de presentar los resultados es en términos de frecuencia y no de periodo. El periodo es el tiempo en que se vuelve a repetir un fenómeno. La frecuencia es el número de veces que se repite en una unidad de tiempo. Cuando se llega al régimen caótico, ya no hay frecuencia característica. Para obtener resultados se realizan análisis de frecuencias del fenómeno en cuestión.

Capítulo X. ¿Determinismo o indeterminismo? Predictibilidad. Una meta de la ciencia es predecir fenómenos. Después de estudiar un fenómeno se establecen los mecanismos que lo rigen. Newton estableció ciertas ecuaciones matemáticas. El modelo determinista sólo en ciertas condiciones puede predecir el fenómeno, pues en otras condiciones el fenómeno se vuelve azaroso. En el primer caso está en un régimen periódico. En el segundo en un régimen caótico, dándose ambos comportamiento en un mismo sistema.

Capítulo XI. Similitud y Caos. Se afirma la relación entre caos y fractales. En el texto al mostrar imágenes de graficas que a su vez son porciones de otras graficas amplificadas, se aprecia en ese momento una auto similitud de la que tanto se menciono como una característica básica de un fractal, así el autor muestra sin mayores complicaciones científicas que las graficas de fenómenos caóticos son auto similares a diferentes escalas, es decir se demuestra que son fractales.

Capítulo XII. Aritmética la secuencia Fibonacci. La secuencia Fibonacci es una serie de números donde la suma de los dos números que anteceden al número buscado es justamente el numero buscado el autor entonces multiplica cada cifra por 1.6 y se observa que la secuencia sigue siendo igual excepto por las dos primeras cifras, luego divide a 1 entre cada uno de los números que conforman la serie fibonacci y se obtiene una secuencia de fracciones a la que se le aplica el método de fracciones continuas y como resultado la única cifra que aparece en las fracciones es 1 y ningún otro número. Dando lugar a una secuencia auto similar de 1 y ceros, esto es la serie fibonacci es un fractal.

Capítulo XIII. Cuasi cristales. Los cuasi cristales se refieran a un arreglo de la materia que se pudo predecir aplicando el concepto de auto similitud, la materia se encuentra en fases que son conocidas para todos , liquido, solido y gaseoso pero la fase de cuasi cristales se refiere al acomodo de los átomos en forma de celdas que forman un cristal las celdas son entonces similares una de la otra, esta auto similitud fue descubierta al predecir que los ángulos en los que se formaban los enlaces de atamos podía ser de 72 grados logrando así pequeñas moléculas pentagonales que al continuar su crecimiento formaban pentágonos que a su vez a una escala mayor seguían generando pentágonos ya a una escala visible para los instrumentos estos pentágonos formados por miles de moléculas eran más bien polígonos de cinco lados que aparentaban no ser pentágonos regulares, sin embargo con el tiempo se observo que eran periódicas sus formas y fue posible obtener el modelo matemático del fractal que describía su acomode en las sustancias.

Capítulo XIV. Leyes de potencia. Aquí el autor hace referencia a la ley de gravitación universal donde newton descubrió que la fuerza de atracción gravitacional decae proporcional mente con el cuadrado de las distancias pero lo curioso ocurre cuando la distancia se aumenta al doble y se duplica la masa de los cuerpos pues el decaimiento sigue siendo el mismo una potencia de dos y así existen varios fenómenos muy similares con algunas diferencias , no necesariamente debe ser la potencia dos sino cualquier otra, y puede ser decaimiento o incremento proporcional. Otro fenómeno muy similar ocurre con la atracción de cargas eléctricas en reposo pues es exactamente lo mismo solo que para esta caso la constante de proporcionalidad es diferente estos fenómenos no lineales presentan una inmensa auto similitud al igual que resultados caóticos en ciertos intervalos de variación.

XV. la similitud en la música. Como uso Bach las leyes de potencias de las que jamás se oyó hablar. El análisis de la estructura de diferentes obras musicales ha demostrado que la selección de las notas que han hecho diferentes compositores, en distintas épocas, tiene algunos elementos comunes. En el análisis auditivo de diversas obras musicales una cantidad que se ha estudiado es la potencia de audio de música. Al analizar cómo está estructurada esta cantidad es términos de la frecuencia, se obtiene lo que se llama su espectro.

Los análisis hechos de diferentes obras musicales han mostrado que sus espectros dependen de la frecuencia, de potencia que, depende de la frecuencia en forma

...