Desigualdades E Inecuaciones

Desigualdades e inecuaciones

FACILITADOR: MSN. ANA CAMPO

PARTICIPANTES:

ISAAC GOMEZ C.I. V- 19.743.882

CURSO: PRECALCULO

SECCIÓN: SEACE

Las primeras actividades matemáticas de las civilizaciones primitivas se relacionaron con la necesidad de contar los rebaños o medir el tiempo. Los hombres primitivos hacían marcas en los arboles para llevar la cuenta de sus posesiones. Los conceptos de igualdad y de desigualdad surgieron mucho después. Así, los signos actualmente utilizados para indicar las desigualdades no fueron establecidos hasta el siglo XVII por los matemáticos Bouguer y Harriot.

Intervalo de recta real.

La desigualdad 7<15 expresa que 7 es menor que 15. Podíamos haber escrito igualmente 15>7 15 es mayor que 7. Los signos <y> se leen “meno que” y “mayor que”, respectivamente.

La desigualdad x>2indica el conjunto de todos los números mayores que 2. En la recta real, dicho conjunto está formado por un intervalo infinito con origen en 2 (el 2 no esta incluido).

El intervalo anterior se expresa por (2,∞)

La desigualdad x<1, representada en la recta real orientada, indica el conjunto de todos los números menores que 1:

El intervalo correspondiente se expresa por (-∞,1)

En los dos intervalos anteriores no están indicados los extremos. Si se requieren incluir los extremos se expresa así:

x≥2, indica el conjunto de todos los números mayores o iguales que 2

x≤1, indica el conjunto de todos los números menores o iguales que 1

También pueden ser expresados, respectivamente, mediante los intervalos infinitos [2,├ ∞) ┤ y (-∞├ ,1] ┤. Cuando está incluido, el intervalo se expresa con corchete en vez de hacerlo con paréntesis. La representación grafica de los dos intervalos anteriores es:

La doble desigualdad a<x<b indica el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b; y pueden expresarse en forma de intervalo abierto (a,b). Su representación grafica en la recta real orientada es:

Si los dos extremos están indicados en el intervalo, este es expresado de la forma: a≤x≤b e indica el conjunto de todos los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

También puede ser expresado en forma de intervalo cerrado:[a,b]. Su representación grafica en la recta real es:

Ejemplo

Representa en la reta real el intervalo (-2,4)

Solución:

Ejemplo

Representa en la recta real el intervalo -3≤x<1

Solución:

Propiedades de las desigualdades.

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta la misma expresión, se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido.

Ejemplo

Si 7>4→{█(sumado 6:7+6>4+6→13>10@restando 5:7-5<4-5→2>-1)┤

En general, este principio se expresa así: Si a>b→a±c>b±c

Este principio permite pasar un término de un miembro de una desigualdad al otro miembro, cambiando el signo del término.

Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido que las primeras.

Ejemplo

3<5

(-6<-4)/(3+(-6)<5+(-4) )→-3<1

Cuando se restan miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, no puede predecirse el sentido de la desigualdad resultante.

Ejemplo 2<4 2<5

(1<2)/(2-1<4-1)→1<2 (-3<4)/(2-(-3)>5-4)→5>1

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, resulta una nueva desigualdad del mis sentido.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número negativo, resulta una desigualdad de sentido contrario.

Ejemplo

Si 6>4→{█(multiplicando por 3: 6∙3>4∙3→18>12@dividiendo por 2: 6:2>4:2→3>2)┤

Si 6>4→{█(multiplicando por-3:6∙(-3)<4∙(-3)→-18<-12@dividiendo por-2: 6:(-2)<4:(-2)→-3<-2)┤

Consecuencias de la anterior propiedad son las siguientes:

Al cambiar de signo los dos miembros de una desigualdad, esta cambia de sentido, porque se multiplican ambos miembros por -1

Ejemplo

Si 4<7 (multiplicado por-1)¦→-4>-7

Al eliminar los denominadores de una desigualdad, multiplicado por los términos por el denominador común, hay que tener en cuenta el signo de este.

Ejemplo

1/4<2/3 ( ∙12)¦( →) 12∙ 1/4<12∙2/3→3<8

Si dos numero tienen el mismo signo, la desigualdad entre sus inversos es la contraria a la que se verifica entre dichos números.

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