Inecuaciones

MODULO 1

EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

INECUACIONES

EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES.

El campo de los números reales puede ser descrito por un conjunto de axiomas con los cuales podemos conocer sus propiedades y operaciones de suma y multiplicación.

P/q q≠0

La recta real la representamos por:

Propiedades de las operaciones suma (+ ) y multiplicación ( • )

Sean a y b dos números reales cualesquiera entonces, existe 1 y sólo 1 número real denotado a+b llamado suma y existe 1 y sólo 1 número real ab llamado producto.

AXIOMA DE CERRADURA.

Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces

a+b = c y ab = d.

Ejemplos particulares:

2+3 = 5

4(5) = 20

AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD.

Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces:

a+(b+c) = (a+b)+c ; (ab)c = a(bc)

Ejemplos particulares:

3+(4+5) = (3+4)+5 (3*7)8 = 3(7*8)

AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD.

Si a y b son números reales cualesquiera entonces

a+b = b+a ab = ba

2+3 = 3+2 (5)4 = (4)5

AXIOMA DEL IDÉNTICO.

Si a es un número real cualesquiera y existe un número 0,llamado (cero) entonces

a+0 = a

Y si existe un número 1 llamado (uno) entonces

a•1 = a

Ejemplos particulares:

5+0 = 0 (6)1 = 6

AXIOMA DEL INVERSO ADITIVO e INVERSO MULTIPLICATIVO

Si a es un número real cualesquiera entonces,

Existe un número cualesquiera llamado (–a) tal que a+(-a) = 0 entonces ( -a) es el inverso aditivo y

Existe un número llamado (1/a) tal que a(1/a) =1 entonces (1/a) es el inverso multiplicativo.

Ejemplos particulares

5-5 = 0 (6)1/6 = 1.

AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD.

Existen números reales a, b y c tales que (a+b)c = ac + bc

Ejemplo particular

(4+7)6 = (4)6 + 7(6)

AXIOMA DE ORDEN.

Sea R un conjunto de números reales que satisface los tres axiomas de orden siguientes:

Si a y b pertenecen a R positivo, entonces a + b y ab pertenecen a R.

Para todo a ≠ 0 ó a pertenece a R positivo o – a pertenece a R positivo pero no ambos.

0 no pertenece a R positivo

Ejemplos

3+4=7 ( la suma de 2 números positivos es positiva).

5(2) = 10 ( El producto de dos números positivos es positivo )

DEFINICION.

Si a es numero negativo, sea (-a), entonces - (- a) es positiva.

Si a = -7 entonces -a = -(-7) = 7

DEFINICION.

Dos símbolos < “menor que” y > “mayor que” se definen como:

a < b si y sólo si b-a = + y a>b si y sólo si b-a = -

a=7, b=9; 9 - 7 = 2 (+)

a=5, b=4; 4 - 5 = - 1 (-)

Inecuaciones

UN POCO DE HISTORIA DE LAS DESIGUALDADES

El problema de las desigualdades no fue abordado por los antiguos matemáticos de Babilonia, Egipto ni Grecia.

Robert Recorde es el primero en exponer algunas cuestiones acerca de las desigualdades en su obra “TheGround of Arts” publicada en 1542.

Tuvieron que pasar muchos años para que el inglés Harriot y el francés Bouguer en el siglo XVII establecieran el uso de los signos ( > ) mayor que, ( > ) menor que.

A partir de ese momento la mayor parte de los matemáticos han hecho uso de los signos

( > ) mayor que, ( < ) menor que, ( ) mayor o igual que, ( ) menor o igual que.

LA FORMA DE REPRESENTAR UNA DESIGUALDAD

Partamos de la recta real

El número 2 es mayor que el número 1.

El número 3 es mayor que el número 2.

Pero el número 1 es menor que el número 2 y el número 2 es menor que el número 3.

A ese mayor y a ese menor llamémoslos relación de orden, eso porque nos ordenan como están los números uno con respecto a otro.

Sea la relación > mayor que y < menor que, entonces 2 > 1, 2 < 3 y 1 < 2, 2<3

También se da el caso que un número pueda ser mayor o igual a otro entonces el signo es ≥ o en su caso menor o igual que otro número es decir ≤.

Estas relaciones se usan principalmente con números expresados como variables.

Los símbolos ≤ “menor o igual que” y ≥ “mayor o igual que” se definen como:

a ≤ b (=) a < b ó a = b y a ≥ b (=) a > b ó a = b.

PROPIEDAD DE LAS DESIGUALDADES.

a>0 implica que a es positiva. Esto es 2>0 por lo tanto 2 es positiva

a>0 implica –a es negativa. Esto es 2 >0 entonces -2<0 -2 es negativa

a<0 implica –a>0 es positiva. Esto es -5<0 entonces –(-5)>0 5 es positivo.

a<b y b>c entonces, a+c< b+c; 5<7 y 7>4 → 5+4 < 7+4

si a < b y c < d entonces a+c<b+d: Esto es 5<3 y 2<-2 : 5+2 < 3-2

si a < b y c >0 entonces ac < bc: Esto es (3<6)7 = 3(7)<6(7)

si a< b y c< 0 entonces ac> bc Esto es (3<6)(-7) → -21>-42

si 0 < a < b y 0 < c < d: ac<bd: Esto es 0 < 5 < 8 y 0 < 9 < 10

5x9 < 8x10

DEFINICIÓN.

El intervalo abierto de a ó b denotado por (a,b) es el conjunto de todos los números reales x en los que no se puede tomar a ni b, otra forma de representar lo anterior es a < x < b

Esto es el intervalo abierto ( 2 , 7 ) lo podemos representar como 2 < x >7

DEFINICIÓN.

El intervalo cerrado denotado por [a,b] es el conjunto de todos los números reales x incluyendo los extremos, también la podemos representar como a ≤ x ≤ b

Sea el intervalo cerrado [8,12] otra forma de representar es: 8 ≤ x ≤ 12

DEFINICIÓN.

El intervalo semi-abierto por la derecha y cerrado por la izquierda se denota:

[a,b) y son todos los números reales que incluyen a “a” pero excluyen a “b” tal que

a ≤ x < b ; [3,8) ó 3 ≤ x < 8.

Ejercicios de inecuaciones

1.-Encontrar todo los números reales que satisfagan

5+6x<5x+3

Solución:

5+6x < 5x+3 (5+6x)+(-5) < 5x+3+(-5) 6x < 5x-2 6x+(-5x) < (5x-2)+(-5x) x < 2

Encontrando el conjunto solución

Tenemos dos posibles intervalos que dan solución (-∞, -2) y (-2, +∞)para encontrar el conjunto solución tomemos un valor intermedio en cada intervalo

Si tomamos -3 en (-∞, -2) entonces

5+ 6(-3) < 5(-3)+3 -13 < -2 si cumple

Si tomamos el 0 en (-2, +∞) entonces

5+6(0) < 5(0)+3 5<3 no cumple

Por lo tanto el conjunto solución es: (-∞, -2)

2.-Encontrar todos los números que satisfagan que:

2 < 6x-4 ≤ 16

Solución: sumamos 4 a cada lado de la desigualdad 2+4 < 6x-4+4 ≤ 16+4 6< 6x ≤ 20 multiplicamos por 1/6 6(1/6) < (6x)1/6 ≤ 20(1/6) 1< x ≤ 20/6 entonces como intervalo semi abierto (1┤,├ 20/6]

Representemos esto en la recta real y tenemos

-∞ < ] ∞

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