Distribucion De Probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Conceptos generales

Uno de los objetivos de la estadística es el conocimiento cuantitativo de una determinada

parcela de la realidad. Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad particular

objeto de estudio, partiendo de la premisa de que lo real es siempre más complejo y

multiforme que cualquier modelo que se pueda construir. De todas formas, la formulación

de modelos aceptados por las instituciones responsables y por los usuarios, permite obviar la

existencia del error o distancia entre la realidad y el modelo.

Los modelos teóricos a los que se hace referencia se reducen en muchos casos a (o incluyen

en su formulación) funciones de probabilidad. La teoría de la probabilidad tiene su origen en

el estudio de los juegos de azar, que impulsaron los primeros estudios sobre cálculo de

probabilidades en el siglo XVI, aunque no es hasta el siglo XVIII cuando se aborda la

probabilidad desde una perspectiva matemática con la demostración de la “ley débil de los

grandes números” según la cual, al aumentar el número de pruebas, la frecuencia de un

suceso tiende a aproximarse a un número fijo denominado probabilidad. Este enfoque,

denominado enfoque frecuentista, se modela matemáticamente en el siglo XX cuando

Kolmogorov formula la teoría axiomática de la probabilidad

1

. Dicha teoría define la

probabilidad como una función que asigna a cada posible resultado de un experimento

aleatorio un valor no negativo, de forma que se cumpla la propiedad aditiva. La definición

axiomática establece las reglas que deben cumplir las probabilidades, aunque no asigna

valores concretos.

Uno de los conceptos más importantes de la teoría de probabilidades es el de variable

aleatoria que, intuitivamente, puede definirse como cualquier característica medible que

toma diferentes valores con probabilidades determinadas. Toda variable aleatoria posee una

distribución de probabilidad que describe su comportamiento (vale decir, que desagrega el 1

a lo largo de los valores posibles de la variable). Si la variable es discreta, es decir, si toma

valores aislados dentro de un intervalo, su distribución de probabilidad especifica todos los

valores posibles de la variable junto con la probabilidad de que cada uno ocurra. En el caso

continuo, es decir, cuando la variable puede tomar cualquier valor de un intervalo, la

distribución de probabilidad permite determinar las probabilidades correspondientes a con

subintervalos de valores. Una forma usual de describir la distribución de probabilidad de

una variable aleatoria es mediante la denominada función de densidad, en tanto que lo que

se conoce como función de distribución representa las probabilidades acumuladas

2-7

.

Una de las preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos de distribuciones de

probabilidad que pudieran representar el comportamiento teórico de diferentes fenómenos

aleatorios que aparecían en el mundo real. La pretensión de modelar lo observable ha

constituido siempre una necesidad básica para el científico empírico, dado que a través de

esas construcciones teóricas, los modelos, podía experimentar sobre aquello que la realidad

no le permitía. Por otra parte, un modelo resulta extremadamente útil, siempre que se

corresponda con la realidad que pretende representar o predecir, de manera que ponga de

relieve las propiedades más importantes del mundo que nos rodea, aunque sea a costa de la

simplificación que implica todo modelo.

3En la práctica hay unas cuantas leyes de probabilidad teóricas, como son, por ejemplo, la ley

binomial o la de Poisson para variables discretas o la ley normal para variables continuas,

que sirven de modelo para representar las distribuciones empíricas más frecuentes.

Así, por ejemplo, la variable “talla de un recién nacido” puede tener valores entre 47 cm y 53

cm, pero no todos los valores tienen la misma probabilidad, porque las más frecuentes son

las tallas próximas a los 50 cm. En este caso la ley normal se adapta satisfactoriamente a la

distribución de probabilidad empírica, que se obtendría con una muestra grande de casos.

Epidat 3.1 ofrece, en este módulo, procedimientos usuales para calcular probabilidades y sus

inversas, para un conjunto bastante amplio de funciones de distribución, discretas y

continuas, que son habituales en el proceso de modelación. Por ejemplo, el conjunto de

distribuciones pertenecientes a la familia exponencial es de uso frecuente en metodologías

como el análisis de supervivencia o el Modelo Lineal Generalizado. Otras distribuciones son

comunes y habituales en el campo de actuación de disciplinas tales como la economía, la

biología, etc.

Cuando la opción elegida es el cálculo de una probabilidad dado un punto x de la

distribución, se presentan en todos los casos dos resultados: la probabilidad acumulada hasta

ese punto, o la probabilidad de que la variable tome valores inferiores o iguales a x (cola

izquierda) y la probabilidad de valores superiores a x (cola derecha). En el caso continuo, la

probabilidad de que la variable sea igual a cualquier punto es igual a cero; por tanto, no

influye en las colas el hecho de incluir o excluir el punto x. Hay un tercer resultado que el

programa presenta sólo para las distribuciones continuas simétricas (normal, logística y t de

Student): la probabilidad de dos colas, es decir, la probabilidad que queda a ambos lados del

intervalo (-x, x) ó (x, -x), según el punto sea positivo o negativo, respectivamente.

Asimismo, los resultados de Epidat 3.1 incluyen la media y la varianza de la correspondiente

distribución, así como la mediana y/o la moda en el caso de las distribuciones continuas.

Epidat 3.1 también ofrece la posibilidad de representar, gráficamente, las funciones de

distribución y densidad.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Las distribuciones discretas incluidas en el módulo de “Cálculo de probabilidades” son:

 Uniforme discreta

 Binomial

 Hipergeométrica

 Geométrica

 Binomial Negativa

 Poisson

Distribución Uniforme discreta (a,b)

Describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos

con la misma probabilidad cada uno de ellos. Un caso particular de esta distribución, que es

la que se incluye en este módulo de Epidat 3.1, ocurre cuando los valores son enteros

consecutivos. Esta distribución asigna igual probabilidad a todos los valores enteros entre el

límite inferior y el límite superior que definen el recorrido de la variable. Si la variable puede

tomar valores entre a y b, debe ocurrir que b sea mayor que a, y la variable toma los valores

enteros empezando por a, a+1, a+2, etc. hasta el valor máximo b. Por ejemplo, cuando se

observa el número obtenido tras el lanzamiento de un dado perfecto, los valores posibles

4siguen una distribución uniforme discreta en {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y la probabilidad de cada cara

es 1/6.

Valores:

x: a, a+1, a+2, ..., b, números enteros

Parámetros:

a: mínimo, a entero

b: máximo, b entero con a < b

Ejercicio

El temario de un examen para un proceso selectivo contiene 50 temas, de los cuales se elegirá

uno por sorteo. Si una persona no ha estudiado los 15 últimos temas ¿Cuál es la probabilidad

de que apruebe el examen?

La variable que representa el número del tema seleccionado para el examen sigue una

distribución uniforme con parámetros a=1 y b=50. La persona aprueba el examen si le toca

un tema del 1 al 35; por tanto, la probabilidad que se pide es la cola a la izquierda de 35. Para

obtener los resultados en Epidat 3.1 basta con proporcionarle los parámetros de la

distribución, y seleccionar calcular probabilidades para el punto 35.

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas

Uniforme discreta (a,b)

a : Mínimo 1

b : Máximo 50

Punto K 35

Probabilidad Pr[X=k] 0,0200

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,7000

Cola Derecha Pr[X>k] 0,3000

Media 25,5000

Varianza 208,2500

La persona tiene una probabilidad de aprobar igual a 0,7.

Distribución Binomial (n,p)

La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas

aplicaciones bioestadísticas.

Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un

experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”.

Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado

desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable

discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento,

cada una de

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