Distribucion De Probabilidades

Distribución de probabilidad normal:

La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones.

La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo μ.

La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a σ, la desviación estándar de la población.

El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida entre μ - σ y μ + σ es aproximadamente igual a 0,68 del área total; entre μ - 2σ y μ + 2σ es aproximadamente igual a 0,95 del área total:

Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son y (Media y desviación estándar de la población). Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por la desviación estándar).

Cuando nos encontramos con una población de observaciones, si podemos afirmar que la distribución correspondiente es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación estándar para tener toda la información necesaria acerca de dicha población.

La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen las siguientes características:

• La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la

Distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.

• La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.

• La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor

Central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.

Para definir la distribución normal de probabilidad en una fórmula es necesario conocer dos parámetros:

μ = media

σ = desviación estándar

σ^(2 )= varianza

e = 2,71828

π = 3,14159

La Distribución Normal Standard

Podemos escribir la fórmula de la distribución normal de la siguiente manera:

μ = media

σ = desviación estándar

z=(x-µ)/σ

Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard o Tipificada. Como podemos observar, en ella hay un sólo parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación estándar de la población. Esta función está tabulada.

Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un cambio de variable por el cual movemos la campana de Gauss centrándola en el 0 del eje X, y modificamos el ancho para que la desviación estándar sea 1.

De esta manera tenemos tabulada una función de Gauss que no depende de cual sea el promedio y la desviación estándar de nuestra población real. El cambio de variable hace que se conserve la forma de la función y que sirva para cualquier población, siempre y cuando esa población tenga una distribución normal.

Cuando queremos calcular las probabilidades para una población real, calculamos Z y entramos en la tabla de la función normal estándar.

Uso y aplicación en la Administración

Es una herramienta sumamente útil, por ejemplo en una farmacia se podría utilizar recopilando una muestra de las compras semanales de nuestros clientes, y determinar si las mismas se comportan de manera normal, es decir si la mayoría de las compras de nuestros clientes se encuentran cerca de la media. También determinar si existen datos atípicos.

En una organización grande se puede utilizar en el departamento de recursos humanos al momento de las evaluaciones individuales así como en la parte operacional al momento de sacar estadísticas en cuanto al volumen de exportaciones e importaciones mensual.

Ejercicio de distribución Normal Estándar

Los montos de dinero que se pierden en las solicitudes de prestamos en el banco estadal center tiene una distribución normal y una media de 70.000 bs fuertes, una desviación estándar de 20.000 bs fuertes. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo ¿Cuál es la probabilidad de que :

El monto solicitado sea de 80.000 Bs o superior?

El monto solicitado oscile entre 65.000 Y 80.000BS?

Datos:

µ = 70.000 Bs

σ = 20.000 BS

P1= (X ≥ 80.000BS)

P2=(X ≤ 65.000BS X ≤ 80.000BS)

Z=(x-µ)/σ

P1= (X ≥ 80.000BS)

Z=(80.000-70.000)/20.000=10.000/20.000=0.5

Probabilidad acumulada = 0.6915

P1= (X ≥ 80.000BS) = 1- 0.6915 = 0.3085

P2=(X ≤ 65.000BS X ≤ 80.000BS)

Z=(80.000-70.000)/20.000=10.000/20.000=0.5

Probabilidad acumulada = 0.6915

Z=(65.000-70.000)/20.000=(-5.000)/20.000=0.25

Probabilidad acumulada = 0.4013

P2=(X ≤ 65.000BS X ≤ 80.000BS) = 0.6915 - 0.4013 = 0.2902

Distribuccion T-Student

En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra es menor de 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t . A veces es necesario hacer análisis de muestras pequeñas por razones de tiempo y reducción de costos, para ello fue descubierta la distribución t por William Gosset, un especialista en estadística, que la publicó en 1908 con el seudónimo de Distribución t Student

En la generalidad de los casos, no disponemos de la desviación standard de la población, sino de una estimación calculada a partir de una muestra extraída de la misma y por lo tanto no podemos calcular Z.

En estos casos calculamos el estadístico T:

T=(µ-X)/S

S=√((∑▒〖(X-Xi)〗^2 )/(n-1))

Donde S es la desviación estándar muestral, calculada con n-1 grados de libertad.

Nótese que utilizamos S, la Desviación Standard de una Muestra, en lugar de μ, la Desviación Standard de la Población.

El estadístico T tiene una distribución que se denomina distribución T de Student, que está tabulada para 1, 2, 3, ... etc. grados de libertad de la muestra con la cual se calculó la desviación standard. La distribución T tiene en cuenta la incertidumbre en la estimación de la desviación standard de la población, porque en realidad la tabla de T contiene las distribuciones de probabilidades para distintos grados de libertad.

La distribución T es mas ancha que la distribución normal tipificada Para un número de grados de libertad pequeño. Cuando los grados de libertad tienden a infinito, la distribución T tiende a coincidir con la distribución normal standard. Es decir, en la medida que aumentemos el número de observaciones de la muestra, la desviación standard calculada estará mas próxima a la desviación standard de la población y entonces la distribución T correspondiente se acerca a la distribución normal standard. El uso de la distribución T presupone que la población con que estamos trabajando tiene una distribución normal.

CARACTERISTICAS

La distribución se denomina distribución de Student o distribución “t”.

Es simétrica, con media de 0, y variancia mayor que 1.

Es más achatada que la normal y adopta diferentes formas, según el número de grados de libertad.

La variable t se extiende desde -a +.

A medida que aumenta los (n -1) grados de libertad la distribución “t” se aproxima en su forma a una distribución normal.

El parámetro de la distribución es (n-1) grados de libertad, originando una distribución diferente para cada tamaño de muestra.

Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media una diferencia de medias (independiente y pareada).

Cuando hicimos la estimación por intervalo, usando la distribución Z, con n ≥ 30, establecimos el intervalo de confianza para estimar la media poblacional, así x ± zσn dado que conocíamos la desviación típica de la población σ. Sin embargo, sino la conocemos se puede sustituir por la desviación típica maestral S quedando así x ± z sn. Se sabe también que si X es una variable normalmente distribuida con media µ y variancia σ 2, y si una muestra de tamaño n se extrae, entonces x,la media de la muestra es normalmente distribuida con media µ y variancia σx2 =σ2n. Asimismo: x – µσx = z, es una variable aleatoria normal estandarizada, con media igual a cero y variancia igual a uno. Si σx se sustituye por sx = (xi-x)2n-1, para tener x-μsx, esta nueva variable no es mas normalmente distribuida, teniendo su

...