Distribuciones De Probabilidad

Unidad 3 Distribuciones de probabilidad

Actividad: ensayo de

3.6. Distribuciones continúas de probabilidad

3.7. Distribución de probabilidad normal.

3.8. Distribución de probabilidad exponencial.  

3.6. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal.

Su gráfica, que recibe el nombre de curva normal, es la curva en forma de campana, la cual describe en forma aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación.

A la distribución normal, frecuentemente se le llama distribución Gaussiana. Una variable aleatoria continua X que tiene la distribución en forma de campana de la figura 1, se le llama variable aleatoria normal.

La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de los parámetros µ y σ, su media y su desviación estándar. Por lo que representan los valores de densidad de X por n(x; µ, σ).

Donde p: 3.1416 y e: 2.71828

1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo, ocurre en x= µ.

2. La curva es simétrica alrededor de su eje vertical donde se tiene la media µ.

3. La curva tiene sus puntos de inflexión en x= µ, + σ, es cóncava hacia abajo si µ-σ <X< µ+σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto.

4. La curva normal se acerca al eje horizontal en forma asintótica en cualquiera de las dos direcciones, alejándose de la media.

5. El área total bajo la curva y arriba del eje horizontal es igual a 1.

La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1 recibe el nombre de distribución normal estándar.

La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de las funciones de densidad normal hace necesaria la tabulación de las áreas de la curva normal para una referencia rápida.

Sin embargo es posible transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal Z con media cero y varianza 1.

Aproximación de la distribución normal a la binomial

Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente cuando n es pequeña, de la formula b(x;n,p) de la distribución binomial.

Si n es grande, es conveniente calcular las probabilidades binomiales por procedimientos de aproximación.

La distribución normal frecuentemente es una buena aproximación a la distribución discreta cuando está ultima toma la forma de campana simétrica.

Desde el punto de vista teórico, algunas distribuciones convergen a normales a medida que sus parámetros se aproximan a ciertos límites.

La distribución normal es una distribución de aproximación conveniente debido a que la función de distribución acumulativa se tabula de manera sencilla.

La distribución binomial se aproxima bastante bien con la normal en problemas prácticos cuando se trabaja con la función de distribución cumulada.

Si X es una variable aleatoria binomial con media µ=np y varianza σ2=npq, entonces la forma de límite de la distribución de:

La distribución normal con µ=np y σ2=npq, no solo proporciona una aproximación muy precisa a la distribución binomial cuando n es grande y p no es muy cercana a 0 o 1; sino que también proporciona una muy buena aproximación aun cuando n es pequeña y p es razonablemente cercana a ½.

Ejemplo

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