Distribuciones De Probabilidad

Distribuciones de probabilidad discretas.

Distribución de Poisson.

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

La función de masa de la distribución de Poisson es:

Donde

• k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).

• λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

• e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

Ejemplo:

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución

a) X= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc.

b)  = 6 cheques sin fondo por día

 = 2.718

b) X= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

 = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos

Nota:  siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

Distribución binomial.

La distribución binomial se encuentra asociada con experimento en los que se realizan “n” número de ensayos y se considera solo la posibilidad de éxito o fracaso. La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones. La ocasión de obtener éxito o fracaso es la misma en cada ocasión.

Función de probabilidad:

Donde

Siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en

Sus parámetros son:

Número de ensayos (entero)

Probabilidad de éxito (real)

Ejemplo:

Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Distribución de Bernoulli.

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso

(q = 1 − p).

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

La fórmula será:

Su función de probabilidad viene definida por:

Ejemplo: "lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

X˜Be(0,5)

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