Distribuciones D Eprobbilidad

431DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variable aleatoria:

Se llama variable aleatoria a aquella que asigna un número al resultado de un experimento, dicho resultado, depende de factores casuales o fortuitos.

la variable aleatoria puede ser discreta o continua.

Variable aleatoria discreta: es aquella que asume un número finito de valores, o una sucesión infinita de valores tales como 0, 1, 2, …, esta resulta de un proceso de enumeración o conteo: contamos cuántos elementos tienen la característica de interés.

Variable aleatoria continua: es aquella que puede tomar cualquier valor (entero o fraccionario) dentro de un intervalo; esta resulta de un proceso de medición: medimos cuánto tiene de la característica de interés.

Ejemplos:

Experimento Variable aleatoria Valores posibles para la variable aleatoria Tipo de variable aleatoria

Inspeccionar un envío de 20 bicicletas Número de bicicletas defectuosas 0, 1, 2, …, 20 Discreta

Observar las ventas de un establecimiento durante un día Número de clientes que realizan una compra 0, 1, 2, … Discreta

Observar la operación de armado de un empleado Tiempo necesario para realizar la operación de armado

continua

Variable aleatoria discreta

El valor esperado o media de una variable aleatoria discreta, es el promedio de los valores que asume la variable , ponderado cada uno por su correspondiente probabilidad de ocurrencia . Se calcula: .

Una medida de dispersión o variabilidad, para resumir la variabilidad en los valores de una variable aleatoria, es la varianza: ,su raíz cuadrada es la desviación estándar, que nos informa la dispersión promedio de los resultados del experimento, respecto a su media o valor esperado.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria, describe como se distribuyen las probabilidades entre los diferentes valores de la variable. Para la variable aleatoria discreta, la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un cierto valor está dada por

Condiciones requeridas para una distribución de probabilidad discreta:

Ejemplo ilustrativo 1:

En una encuesta realizada por estudiantes de psicología, acerca de factores causantes de estrés en las amas de casa de la zona metropolitana, una variable de interés fue el número de hijos, obteniendo el siguiente resultado

# hijos #amas de casa

1 8

2 24

3 21

4 5

5 1

6 1

60

a. ¿Cuál es el número esperado de hijos

b. ¿Cuáles son la varianza y la desviación estándar

c. Usando los datos de la muestra, determine cuál es la probabilidad de que una ama de casa tenga por lo menos 5 hijos?

d. Dibuje la gráfica de la distribución

Obtenemos las probabilidades correspondientes, mediante las frecuencias relativas, es decir, dividiendo cada frecuencia entre n=60. Para fijar la celda donde busca el valor de n, digitamos F4, aparece como $C$10.

Obtenemos la probabilidad y expresamos este resultado con cuatro decimales,

Copiamos la fórmula para todos los valores de X, desde de la esquina inferior derecha,

Obtenemos las probabilidades para cada valor de X,

Y la suma de la probabilidades, al final de las mismas, se obtiene haciendo clic en el icono de autosuma. Debemos asegurarnos que se cumplen las condiciones requeridas,

a. Calculamos el valor esperado de la variable, agregando otra columna con los productos de , como se muestra enseguida

copiamos la fórmula para toda la distribución,

La suma de estos productos corresponde a la media o valor esperado de la variable

b. para obtener la varianza y la desviación estándar, agregamos una columna con el cuadrado de la diferencia entre cada valor de y su media o valor esperado, multiplicado, para ponderar, por , es decir, por su probabilidad

Copiamos la fórmula para toda la distribución,

Y la suma corresponde a la varianza

Tenemos entonces la varianza,

y su raíz cuadrada corresponde a la desviación estándar,

c. ¿cuál es la probabilidad de que una ama de casa tenga por lo menos 5 hijos?

Por lo menos 5 hijos corresponde a 5 ó 6 hijos, entonces sumamos sus probabilidades,

obtenemos,

A continuación se inserta la tabla de Excel, que contiene estos cálculos

d. dibuje la gráfica

seleccionamos la columna con los datos de probabilidad, e insertamos un gráfico de columnas:

una vez que tenemos la gráfica sobre la hoja de cálculo hacemos un clic derecho sobre el área de trazado, y clic en seleccionar datos

Clic en Editar (etiquetas del eje horizontal)

Seleccionamos los valores correspondientes de X,

Clic en aceptar

Obtenemos la gráfica de la distribución de probabilidad, como se muestra enseguida.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Son modelos matemáticos que pueden describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, siempre que se satisfagan los requisitos del modelo. Constituyen una valiosa herramienta para la toma de decisiones.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:

Es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en la estadística aplicada. Describe procesos que

1. constan de n ensayos o pruebas idénticos e independientes,

2. cada ensayo de los cuales proporciona uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes, uno de los cuales se denota (en forma arbitraria) como un éxito y el otro como fracaso, tales como defectuoso o no defectuoso, correcto o incorrecto, presente o ausente, aceptable o no aceptable,

3. la probabilidad de éxito se mantiene constante de ensayo a ensayo.

Elementos:

n= número de pruebas o ensayos.

p= probabilidad de un éxito en cada ensayo

q=1-p=probabilidad de fracaso en cada ensayo

x= número de éxitos en los n ensayos, donde

n-x= número de fracasos en los n ensayos.

La probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos es:

Parámetros de la distribución: n, p.

Media y varianza de la distribución binomial

La función de Excel para calcular probabilidades binomiales es DISTR.BINOM. Esta función tiene 4 argumentos: , el número de éxitos, , el número de ensayos (la probabilidad de éxito) y acumulado, donde 0=falso, devuelve la probabilidad de exactamente éxitos, mientras que 1=verdadero, devuelve la probabilidad acumulada desde 0 hasta éxitos.

Ejemplo ilustrativo 2:

Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso, se encuentra que 25% de los camiones no completaban la prueba sin ponchaduras.

De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que

a. De tres a seis tengan ponchaduras;

b. Menos de cuatro tengan ponchaduras;

c. más de cinco tengan ponchaduras

d. dibuje la gráfica de la distribución

e. ¿cuáles son la media y la desviación estándar de la distribución?

Los datos son:

n= 15

llamemos éxito al resultado de que tenga ponchaduras.

Entonces p=0.25

1-p=q=0.75

Utilizando el programa Excel:

Capturamos en una columna los valores posibles de X, (enteros desde 0 hasta 15), y a la derecha de cada valor, mediante la función de Excel, determinamos la probabilidad binomial,

Clic en el icono fx (a la izquierda de la barra de fórmulas)

En el cuadro de diálogo, seleccionar categoría Estadísticas

Y en la parte inferior del cuadro de diálogo buscar la función DISTR.BINOM

Llenamos los campos,

Clic en aceptar

Copiamos la función hasta el último valor de X

Obtenemos la suma de las probabilidades para asegurar que cumple los requisitos

Con la distribución de probabilidad, contestamos los incisos,

De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que

a. De tres a seis tengan ponchaduras;

Respuesta: 0.70729

b. Menos de cuatro tengan ponchaduras;

Respuesta: 0.46129

c. más de cinco tengan ponchaduras

Respuesta: 0.14837

d. dibuja la gráfica de la distribución,

procedemos como en el ejemplo anterior,

e. ¿cuáles son la media y la desviación estándar de la distribución?

Recordemos que

Y

Enseguida insertamos la hoja de Excel con el trabajo presentado,

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Describe procesos en los que interesa una variable aleatoria X, que corresponde a el número de ocurrencias de un hecho o fenómeno durante un intervalo dado, o en una región específica. Por ejemplo,

• Número

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