ENSAYO DE EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

INTRODUCCIÓN

El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. En este capítulo se estudiarán las bases que permiten diseñar técnicas para el cálculo de integrales. Es la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Se han visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. En este punto, podría parecer que estos dos problemas no se relacionan, aunque tienen una conexión muy estrecha. La conexión fue descubierta independientemente por Isaac newton y Gottfried Leibniz y esta enunciada en un teorema que recibe el nombre de teorema fundamental del cálculo.

De manera informal, el teorema establece que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación. Para saber cómo newton y Leibniz habrían pronosticado esta relación, considerar las aproximaciones que se muestran en las figuras siguientes. La pendiente de la recta tangente se definió utilizando el cociente ⧍y/⧍x (la pendiente de la recta secante). De manera similar, el área de la región bajo una curva se definió utilizando el producto ⧍y⧍x (el área de un rectángulo). De tal modo, al menos en una etapa de aproximación primitiva, las operaciones de derivación y de integración definida parecen tener una relación inversa en el mismo sentido en el que son operaciones inversas la división y la multiplicación. El teorema fundamental del cálculo establece que los procesos de límite (utilizados para definir la derivada y la integral definida) preservar esta relación inversa.

[pic 1]

Si una función F es una continuación en el intervalo cerrado [a. b] y F es una antiderivada  de F en el intervalo [a, b], entonces.

[pic 2]

Demostración: la clave para la demostración consiste en escribir la diferencia F(b)-F(a) en una forma convincente. Sea ⧍ la siguiente partición de [a, b].

a=X₀ < x₁ < x₂ <............................................................... < Xa-₁ < Xn = b

Mediante la resta y suma de términos analógicos, se obtiene

F(b) - F(a) = F(Xn) – F(Xn-₁) – F(Xn-₁) - ………… - F(X₁) + F(X₁) – F(X₀) =  de acuerdo con el teorema del valor medio, se sabe que existe un numero Ci, en el i-ésimo subintervalo tal que[pic 3]

 .[pic 4]

Como F´(C𝑖) = f(C𝑖), puede dejarse que ⧍x1 = X₁ –  X₁-₁ y obtenerse

F(b) -  F(a) = [pic 5]

Esta importante ecuación indica que al aplicar el teorema del valor medio siempre es posible encontrar una colección de Ci tal que al constante F(b) -  F(a) es una suma de Reimann de f en [a, b]. Tomando el límite (cuando ||⧍||→ 0) produce

[pic 6]

ESTRATEGUIA PARA UTILIZAR EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

1. Suponiendo que se conozca una antiderivada o primitiva f, se dispone de una forma de calcular una integral definida sin tener que utilizar el límite de la suma.
2. Cuando se aplica el teorema fundamental del cálculo, la siguiente notación resulta conveniente.

[pic 7]

Por ejemplo, para calcular , es posible escribir[pic 8]

[pic 9]

1. No es necesario incluir una constante de integración C d la antiderivada o primitiva ya que

[pic 10]

Ejemplo: evaluar cara integral definida.

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