Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen ay(x) o a sus derivadas. En algún intervalo Z que contenga a xₒ, el problema

En donde yₒ, y_1 ,. . . . y_n-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x_0: y (x_0) = y_0, y´ (x_0) = y_1. . . . y^(n-1) (x_0) = y_((n-1)) se llaman condiciones iniciales.

EXISTENCIA Y UNICIDAD

Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos fundamentales:

¿existe una solución al problema? Si la hay, es única?

Para un problema de valor inicial lo que se pregunta es

Existencia Unicidad

¿la ecuación diferencial dx/dy = f(x, y) tiene solución?

¿algunas de las curvas solución pasa por los puntos (xₒ, yₒ)? ¿Cuándo podemos estar seguros de que hay precisamente una curva solución que pasa por los puntos (xₒ, yₒ)?

Nótese que, empleamos la frase “una solución” y no “la soluci6n” del problema. El artículo indefinido se usa deliberadamente para indicar la posibilidad de que existan otras soluciones. Hasta ahora no hemos demostrado que haya una solución única para cada problema.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS

Una ecuación lineal de orden n de la forma

Se llama homogénea, mientras que una ecuación de

Donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea por ejemplo:

es una ecuación diferencial lineal de segundo orden y homogénea mientras que

es una ecuación diferencial lineal de tercer orden y no homogénea en este contexto la palabra homogénea no indica que los coeficientes sean funciones homogéneas.

Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea en primera instancia debemos poder resolver la ecuación homogénea asociada.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

Sean y_1, y_2. . . . y_k Soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n donde x esta en un intervalo I. la combinación lineal

En donde las c_i, i = 1, 2, ………..k son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x esta en el intervalo.

EJEMPLO

Las funciones son soluciones de la ecuación lineal homogénea

para x en el intervalo (0, ∞). Según el principio de superposición, la combinación lineal.

También es una solución de la ecuación en el intervalo

La función y = e^7x es una solución de yʺ - 9yʹ + 14y = 0. Como la ecuación diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante y = e^7x también es una solución. Cuando c tiene diversos valores

y = 〖9e〗^e7, y = 0, y = -√(5e^7x ), …. Son soluciones de la ecuación.

DEPENDENCIA

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