Gradiente Vectorial

Es un campo escalar es un campo vectorial este vector gradiente es evaluado en un punto genérico x del dominio de , el (x) indica la dirección en la cual el campo varia rápidamente y representa su ritmo de evaluación .

Se toma como campo escalar el que se le asigna a cada punto en x expresión, así el vector gradiente se convierte en un punto genérico del espacio y este indica la dirección en la cual la presión cambia.

Definición y formulas

El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación

Geométricamente el gradiente es un vector que se encuentra normal a la curva de nivel en un punto dado llámese (x,y).

Propiedades

El gradiente verifica que:

• Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.

• Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.

• Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.

• Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).

• El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

Vector gradiente

El vector gradiente es la generalización de derivada a funciones de una variable, en un punto de una función real de varias variables reales al conjunto ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto.

Dada una función de n variables, su vector gradiente es el vector formado por las n derivadas parciales primeras. A todo punto del plano se le puede asociar un vector gradiente evaluando las derivadas parciales en dicho punto, de esta forma se construye lo que se conoce como campo gradiente, que no es más que el conjunto de puntos del plano con sus respectivos vectores gradientes asociados.

El vector gradiente tiene dos importantes propiedades que le hacen muy útil en el método de resolución geométrica:

Una primera propiedad es que en cada punto indica la dirección de crecimiento de la función.

La segunda propiedad es que siempre en cada punto es ortogonal a las curvas de nivel. La ortogonalidad en este caso significa que dicho vector forma un ángulo de 90 grados con las rectas tangentes de las curvas de nivel.

Estas propiedades pueden apreciarse en la siguiente figura, en la que junto a las curvas de nivel de la función f (X,Y) = sen (X Y) aparece el correspondiente campo gradiente. Los vectores gradientes asociados a cada punto no están representados en su verdadera escala, pero en este caso lo importante es su dirección y sentido.

Grafica del vector gradiente

Propiedades del vector gradiente

El vector gradiente se utiliza en diferentes situaciones. Quizás las dos más importantes son el cálculo de derivadas direccionales y el cálculo de extremos. Veamos ahora algunas propiedades del vector gradiente para el caso de funciones diferenciables.

Propiedad 1: Dada una función f diferenciable, si el gradiente de f en P es el vector nulo entonces la derivada direccional en cualquier dirección en el punto P es cero.

Propiedad 2: El vector gradiente en un punto P es ortogonal a la superficies equiescalares definidas por f( x → )=f( x 1 , x 2 ,..., x n )=K=cte que pasa por P.

Caso particular: En el caso de funciones de dos variables las superficies equiescalares son las curvas de nivel. En la figura se muestran las curvas de nivel de la función z= x 2 + y 2 y su gradiente en distintos puntos. Puedes hacer clic sobre la imagen para verla más claramente.

Propiedad 3: El gradiente tiene la dirección y sentido en el que la derivada direccional es máxima.

Propiedad 4: Su módulo en cada punto coincide con el valor de la derivada direccional máxima.

Ejemplo

Dada la función f (xy)=xy, calcular el vector gradiente por el punto P = (3,2) y demuestra que es ortogonal a la curva de nivel que pasa por dicho punto.

La curva de nivel que pasa por P (3,2) es:

z = 3x2 = 6 =>xy=6 o lo que es lo mismo y =6/x.

Para encontrar la recta tangente a dicha curva de buscamos su pendiente:

y`= −6/x^2 de modo que en P será: m= −2/3=>=y-2[-2/3](x-3) Esta recta tangente, tiene por vector director U = (3, -2) claramente ortogonal al vector gradiente ( producto escalar nulo) lo que prueba la ortogonalidad del gradiente y la curva de nivel correspondiente.

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