LA PROPORCIÓN ÁUREA
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2. LA PROPORCIÓN ÁUREA
Históricamente, una de las primeras referencias a la proporción áurea (aunque sin hacer
mención de esa denominación) aparece en el libro sexto de los Elementos de Euclides: en la
Definición 3 y en el Problema 10, Proposición 30. Presentamos los enunciados rescatados de
la traducción de Rodrigo Zamorano
(5)
:
Definición 3. "Dize fe fer diuidida vna linea recta con razon extrema y media quando
fuere que como fe ha toda a la mayor parte, affi la mayor a la menor"
(6)
.
Problema 10, Proposición 30. "Diuidir una linea recta dada terminada con extrema y
media razon"
(7)
.
Este problema, con este amorfo
(8)
título, lo resuelve Euclides mediante una construcción con
regla y compás. Vamos a hacerlo nosotros también, y para ello vamos a situarnos en la actualidad, usando la terminología y notación adecuadas. Se trata de dividir un segmento en dos
partes desiguales, de manera que la parte menor sea a la mayor como la mayor sea a la longitud total de segmento. Gráficamente se puede observar en la siguiente figura.
Se trata de encontrar el punto C, de manera que se cumpla la proporción entre las longitudes
de los segmentos AB, AC y BC:
, o también
Permítasenos un inciso para comentar el simbolismo de la proporción en matemáticas.
Habitualmente, la mayoría de las proporciones matemáticas están compuestas pro cuatro
términos distintos a, b, c, d, verificándose
.
En el caso en que c = b, tenemos la
proporción de tres términos distintos
,
donde b es media proporcional entre a y d.
La peculiaridad de la proporción
es que se obtiene a partir de dos términos
diferentes a y b por división asimétrica del todo (o unidad), representado por a + b.
Volviendo a la proporción, quitando los denominadores obtenemos:
a(a + b) = b
2
, a
2
+ ab = b
2
que, considerando b como incógnita, podemos ordenar para llegar a la ecuación de segundo
grado:
b
2
– ab – a
2
= 0 (1)
Resolviéndola obtenemos:
Interpretando las soluciones obtenidas, y teniendo en cuenta que a y b son longitudes de segmentos, por tanto cantidades positivas, nos quedamos con la solución mayor que cero, es decir:Diciembre 2008 • 2008ko Abendua 135
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Un análisis de las proporciones del antiguo Colegio de San Nicolás
Tenemos, por tanto, que la longitud del segmento b es igual a la longitud del segmento a
multiplicada por el número
.
Es decir, que la razón (cociente) existente entre la longitud
de los segmentos a y b es el número
.
Hemos llegado a la solución del problema inicial,
la
división del segmento en dos partes desiguales, y es el momento de dar nombres a los resultados
obtenidos: el número
(9)
= 1,61803398875 se denomina número de oro o número áureo y
se designa por la letra del alfabeto griego f. A la proporción se le denomina proporción áurea,
proporción divina
(10)
, sección áurea
(11)
o sección divina
(12)
. Este número decimal pertenece al
conjunto de los números irracionales, porque tiene infinitas cifras decimales y no es periódico;
es decir, no tiene un grupo de cifras decimales que se repita periódicamente y de manera indefinida. Por tanto, nunca podremos conocer todas sus cifras decimales y nunca lo conoceremos
en su totalidad (como le pasa a cualquier otro número irracional: p, √2, √3, √5, etc). Esta última
de las características de los números irracionales, la inconmensurabilidad o imposibilidad de
ser medido con exactitud, es la que desató en la época griega una de las crisis de la escuela
pitagórica.
Antes de continuar, debemos aclarar que hemos denominado número de oro f al cociente:
. Si consideramos la proporción inicial , el cociente será igual al número
, inverso de f. Haciendo operaciones podemos llegar a que el valor del inverso del
número de oro es igual a:
Como, por otra parte, el número de oro es solución de la ecuación b
2
– ab – a
2
= 0 cuando
a = 1, podemos escribir que f
2
– f – 1 = 0, o lo que es lo mismo f
2
= f + 1. Esta relación es
la que caracteriza al número áureo y expresa una de las características de la sucesión numérica
de las potencias de f:
1, f, f
2
,…, f
n
,…
Esta sucesión tiene propiedades multiplicativas ya que es una progresión geométrica de razón
f, por lo tanto expresa un crecimiento exponencial, y también tiene propiedades aditivas, ya
que cada término (desde el tercero en adelante) es igual a la suma de los dos anteriores. Estas
propiedades las podemos escribir como:
f
n
+ f
n+1
= f
n+2
, n ∈ N f
n+1
= f. f
n
, n ∈ N
Análogamente, si tomamos la relación f
2
= f + 1 y dividimos a los dos lados del signo igual por
f, obtenemos . Si volvemos a dividir esta relación por f, resulta que , y en
general, podemos comprobar que se cumple la igualdad: . Por tanto,
la sucesión numérica
(13)
tiene las mismas propiedades
aditivas y multiplicativas que la sucesión 1, f, f
2
,…, f
n
,…
Estas sucesiones están relacionadas con la conocida sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., an
, an+1
, ...136
Constantino de la Fuente Martínez
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
Esta última tiene propiedades aditivas, pues si n es un número natural, entonces an
+ an+1
= an+2
,
y también desarrolla un crecimiento que, asintóticamente
(14)
, está relacionado con el número f.
Esto lo podemos expresar matemáticamente como: . Es decir, si n es muy grande,
entonces los términos de la sucesión de Fibonacci se obtienen, aproximadamente, de multiplicar
el término anterior por el número de oro. Estas propiedades, que la sucesión 1, f, f
2
,…, f
n
,…
cumple en todos sus términos, hacen que se la considere como la sucesión que representa el
crecimiento armonioso por excelencia, ya que todos sus elementos se pueden obtener indistintamente mediante crecimiento aritmético (aditivo) o geométrico (multiplicativo) y esto hace
que la evolución de los términos de la sucesión sea de aumento, pero manteniendo la misma
forma en el resultado final. Esta característica es la que dirige habitualmente el crecimiento en
la naturaleza y es la que produce las simetrías dinámicas, el equilibrio y la armonía estética.
Si más arriba nos hemos acercado al número de oro mediante la partición de un segmento en
media y extrema razón, lo vamos a hacer ahora por medio de los denominados rectángulos
áureos. Para los lectores no conocedores de este concepto, vamos a comenzar definiéndolo:
Un rectángulo de lados a y b (con a<b) diremos que es
áureo si al quitarle un cuadrado de lado a, el rectángulo
que queda, que tiene de lados a y b – a es semejante al
primero. Representando la situación gráficamente y asignando a cada lado su longitud, podemos aplicar a los dos
rectángulos la propiedad que nos dice que el cociente de
lados homólogos es siempre constante, por lo que, en la
figura se cumplirá que:
Operando en la igualdad anterior, podemos obtener: b(b – a) = a
2
, o también b
2
– ab – a
2
= 0. Esta
ecuación coincide con la ecuación (1) obtenida al dividir el segmento en media y extrema razón,
por lo que podemos obtener que b = a. f. Por tanto, para que un rectángulo sea áureo, el lado mayor
debe ser igual al lado menor multiplicado por el número de oro. Además, el rectángulo menor,
obtenido del mayor suprimiendo un cuadrado, también es áureo; es decir, si le quitamos el mayor
cuadrado contenido en él, el rectángulo que queda también es semejante a él y por tanto áureo, y
así sucesivamente. Volveremos más adelante sobre esta forma de dividir un rectángulo áureo.
3. DIVISIONES ARMÓNICAS DE UN POLÍGONO
La idea de estudiar las proporciones, no sólo en las longitudes y dimensiones lineales, sino
también en las superficies que componen determinadas figuras, sacando, de esta forma, conclusiones para el estudio de recintos arquitectónicos, se debe a Jay Hambidge
(15)
. En nuestro
caso nos centraremos en el estudio de algunos procedimientos para dividir un rectángulo
áureo o un cuadrado de forma armoniosa, con el objetivo de conseguir modelos de crecimiento dinámico que contengan como sustrato y soporte básico el número de oro.
Para el caso del rectángulo, la idea principal es conseguir, dentro del rectángulo inicial, otros
que sean semejantes a él. Para ello haremos uso del denominado método de las diagonales
de Hambidge, que se basa en la idea de rectángulo recíproco de un rectángulo dado, y que
explicaremos a continuación, usando la figura 3.1:
Dado un rectángulo ABCD, el rectángulo BCEF es recíproco de ABCD si es semejante e interior a él y su lado mayor es uno de los dos lados menores del rectángulo inicial. Se cumple
que para obtener el rectángulo recíproco de un rectángulo dado, basta con trazar una de sus Diciembre 2008 • 2008ko Abendua 137
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Un análisis de las proporciones del antiguo Colegio de San Nicolás
diagonales, por ejemplo la BD, trazar
la perpendicular a ella desde uno de
los otros vértices, por ejemplo CF, y
proyectar el punto F sobre el lado paralelo CD. Se puede comprobar fácilmente
que el rectángulo BCEF es recíproco de
ABCD
(16)
.
Centrándonos en los rectángulos áureos,
si ABCD es áureo, entonces su rectángulo recíproco es BCEF, que cumple
que también es áureo. En este caso el
polígono sobrante
(17)
, ALED es un cuadrado, y es el único caso en que esto se
cumple
(18)
.
Por tanto, un rectángulo áureo se puede descomponer en una sucesión de cuadrados y rectángulos, de forma que cada cuadrado nos permite obtener el rectángulo recíproco del rectángulo
anterior en la sucesión. Puede verse en la figura 3.2.
Obtenemos la sucesión de rectángulos: ABCD, BCEL, BGFL, FLIH, ... y la sucesión de cuadrados: ALED, FGCE, BGHI, IJKL, ...
Figura 3.2
Esta descomposición da lugar a la espiral logarítmica contenida en cualquier rectángulo áureo,
sin más que hacer centro en los vértices L, F, H, J, etc, y trazando arcos de circunferencia que
unen, respectivamente, los puntos A con E, posteriormente E con G, después G con I, I con K,
etc. Esta espiral es el modelo conceptual de crecimiento armonioso que presenta en la naturaleza una caracola, o en la arquitectura el Partenón.
Figura 3.1138
Constantino de la Fuente Martínez
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
El método de las diagonales presenta muchas más posibilidades de dividir armoniosamente
un rectángulo áureo. Vamos a presentar dos de ellas, que nos van a ser muy útiles en nuestro
estudio posterior del edificio del Instituto.
La primera, que está representada en la figura 3.3, consiste en construir los dos rectángulos
recíprocos contenidos en el rectángulo áureo inicial, ABCD y EFGH, y escoger varios puntos
para formar polígonos de interés. Por ejemplo, el cuadrado OPQR y los rectángulos áureos
PIGQ y JORD. Esta descomposición tendrá mucho interés, cuando nos centremos en el edificio del Instituto, debido a que el cuadrado OPQR juega un papel muy importante en las
dimensiones y proporciones de algunos elementos arquitectónicos del edificio.
Figura 3.3
La segunda descomposición (figura 3.4) utiliza también los dos rectángulos recíprocos junto
con sus diagonales, los dos cuadrados sobrantes, que son los gnomons
(19)
de los rectángulos
recíprocos, con los que podemos conseguir el rectángulo inicial y sus diagonales. Uniendo
puntos escogidos de los cortes entre las diagonales, obtenemos varios cuadrados C1
, C2
, ...,
C8
y varios rectángulos R1
, R2
, ..., R7
. Todos ellos tienen un papel importante en el próximo
apartado de nuestro estudio.
Figura 3.4
Una vez dividido el rectángulo de forma gráfica, nos surgen varias cuestiones relacionadas
con las proporciones existentes entre las figura inicial y las que vamos obteniendo; este será
el contenido de lo que sigue.Diciembre 2008 • 2008ko Abendua 139
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Partiendo de la figura 3.5, que representa en forma esquemática la división armónica de la
figura 3.3, vamos a considerar el triángulo ABC; en él podemos calcular los valores de las
razones trigonométricas del ángulo a, a partir de las longitudes de los lados del rectángulo
inicial, a y
:
Comenzaremos por una de ellas, por ejemplo .
Figura 3.5
Del valor de la tga podemos deducir fácilmente
(20)
los valores de y
Si ahora nos fijamos en el triángulo AEC, podemos calcular d1
, puesto que d1
= a.cosa, y
sustituyendo el valor de cosa calculado anteriormente, tenemos .
Por otra parte, en el triángulo AED, podemos calcular c1
, ya que c1
= d1
sena, y sustituyendo
d1
y sena obtenemos . Este resultado nos
proporciona la medida del lado del cuadrado OPQR de la figura 3.3. Por si hubiera alguna duda sobre
la afirmación de que OPQR es un cuadrado, también podemos calcular (en la figura 3.3) otro de sus
lados llamando a la longitud OP = x y calculando x a partir de la relación . Despejando
x nos vuelve a resultar , con lo que queda demostrado que OPQR es un cuadrado
(21)
.
Una vez determinados c1
y d1
, vamos a calcular las longitudes análogas, c2
, d2
, c3
y d3
, correspondientes a los rectángulos áureos que se van obteniendo en la división armónica:
En el triángulo CDE tenemos que , por tanto
.
Como
, podemos poner , y sustituyendo c1
y d2
por sus
valores obtenemos140
Constantino de la Fuente Martínez
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
. Realizando cálculos semejantes obtenemos
y
Recopilando los resultados, podemos considerar las sucesiones numéricas:
La primera de ellas, que corresponde a la medida del lado de los cuadrados interiores a los
rectángulos áureos que se van obteniendo, es el resultado de multiplicar el número por
la sucesión canónica del crecimiento armonioso, . Por tanto, tiene
propiedades aritmético-sumativas y geométrico-multiplicativas, lo que conlleva que la evolución de esas medidas tiene como base el patrón áureo.
La sucesión de los valores d1
, que es la sucesión de los segmentos en que el polo de la espiral áurea divide a las diagonales de los rectángulos áureos, es el resultado de multiplicar el
número por la sucesión , mencionada anteriormente, por lo
que también goza de las mismas propiedades que la sucesión c1
.
Como hemos visto, es el lado del cuadrado oculto en el rectángulo inicial
de lados a y . Si ahora consideramos el rectángulo áureo CDEF de la figura 3.5,
y lo representamos separadamente (figura 3.6), sus lados miden
y .
Realizando los cálculos oportunos tenemos que , mientras que sabíamos que
. Cada uno de ellos es igual al lado mayor del rectángulo áureo que los contiene multiplicado por . Por lo tanto, los lados de los cuadrados inmersos en los rectángulos áureos forman una progresión geométrica c1
, c'1
, c''1
, c'''1
,…, de razón
.Diciembre 2008 • 2008ko Abendua 141
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Figura 3.6
También podemos observar que, esta forma de variación, no sigue pautas áureas, sino que
su patrón está regido por el número dinámico √5, que a su vez está relacionado con f, pues
, pero que tiene otras formas de crecimiento.
En la descomposición armónica que hemos estudiado, juegan un papel muy importante
las diagonales de los rectángulos áureos que van surgiendo del inicial. Vamos a concretar
las medidas de estas diagonales y a hacer explícito su patrón de crecimiento. Para ello nos
fijaremos en la figura 3.7, donde las diagonales buscadas son d, d'. Utilizando el teorema de
Pitágoras, podemos poner:
.
Operando tenemos que ,
...