LA PROPORCIÓN ÁUREA

2. LA PROPORCIÓN ÁUREA

Históricamente, una de las primeras referencias a la proporción áurea (aunque sin hacer

mención de esa denominación) aparece en el libro sexto de los Elementos de Euclides: en la

Definición 3 y en el Problema 10, Proposición 30. Presentamos los enunciados rescatados de

la traducción de Rodrigo Zamorano

(5)

:

Definición 3. "Dize fe fer diuidida vna linea recta con razon extrema y media quando

fuere que como fe ha toda a la mayor parte, affi la mayor a la menor"

(6)

.

Problema 10, Proposición 30. "Diuidir una linea recta dada terminada con extrema y

media razon"

(7)

.

Este problema, con este amorfo

(8)

título, lo resuelve Euclides mediante una construcción con

regla y compás. Vamos a hacerlo nosotros también, y para ello vamos a situarnos en la actualidad, usando la terminología y notación adecuadas. Se trata de dividir un segmento en dos

partes desiguales, de manera que la parte menor sea a la mayor como la mayor sea a la longitud total de segmento. Gráficamente se puede observar en la siguiente figura.

Se trata de encontrar el punto C, de manera que se cumpla la proporción entre las longitudes

de los segmentos AB, AC y BC:

, o también

Permítasenos un inciso para comentar el simbolismo de la proporción en matemáticas.

Habitualmente, la mayoría de las proporciones matemáticas están compuestas pro cuatro

términos distintos a, b, c, d, verificándose

.

En el caso en que c = b, tenemos la

proporción de tres términos distintos

,

donde b es media proporcional entre a y d.

La peculiaridad de la proporción

es que se obtiene a partir de dos términos

diferentes a y b por división asimétrica del todo (o unidad), representado por a + b.

Volviendo a la proporción, quitando los denominadores obtenemos:

a(a + b) = b

2

, a

2

+ ab = b

2

que, considerando b como incógnita, podemos ordenar para llegar a la ecuación de segundo

grado:

b

2

– ab – a

2

= 0 (1)

Resolviéndola obtenemos:

Interpretando las soluciones obtenidas, y teniendo en cuenta que a y b son longitudes de segmentos, por tanto cantidades positivas, nos quedamos con la solución mayor que cero, es decir:Diciembre 2008 • 2008ko Abendua 135

La Divina Proporción en el Instituto "Cardenal López de Mendoza"

Un análisis de las proporciones del antiguo Colegio de San Nicolás

Tenemos, por tanto, que la longitud del segmento b es igual a la longitud del segmento a

multiplicada por el número

.

Es decir, que la razón (cociente) existente entre la longitud

de los segmentos a y b es el número

.

Hemos llegado a la solución del problema inicial,

la

división del segmento en dos partes desiguales, y es el momento de dar nombres a los resultados

obtenidos: el número

(9)

= 1,61803398875 se denomina número de oro o número áureo y

se designa por la letra del alfabeto griego f. A la proporción se le denomina proporción áurea,

proporción divina

(10)

, sección áurea

(11)

o sección divina

(12)

. Este número decimal pertenece al

conjunto de los números irracionales, porque tiene infinitas cifras decimales y no es periódico;

es decir, no tiene un grupo de cifras decimales que se repita periódicamente y de manera indefinida. Por tanto, nunca podremos conocer todas sus cifras decimales y nunca lo conoceremos

en su totalidad (como le pasa a cualquier otro número irracional: p, √2, √3, √5, etc). Esta última

de las características de los números irracionales, la inconmensurabilidad o imposibilidad de

ser medido con exactitud, es la que desató en la época griega una de las crisis de la escuela

pitagórica.

Antes de continuar, debemos aclarar que hemos denominado número de oro f al cociente:

. Si consideramos la proporción inicial , el cociente será igual al número

, inverso de f. Haciendo operaciones podemos llegar a que el valor del inverso del

número de oro es igual a:

Como, por otra parte, el número de oro es solución de la ecuación b

2

– ab – a

2

= 0 cuando

a = 1, podemos escribir que f

2

– f – 1 = 0, o lo que es lo mismo f

2

= f + 1. Esta relación es

la que caracteriza al número áureo y expresa una de las características de la sucesión numérica

de las potencias de f:

1, f, f

2

,…, f

n

,…

Esta sucesión tiene propiedades multiplicativas ya que es una progresión geométrica de razón

f, por lo tanto expresa un crecimiento exponencial, y también tiene propiedades aditivas, ya

que cada término (desde el tercero en adelante) es igual a la suma de los dos anteriores. Estas

propiedades las podemos escribir como:

f

n

+ f

n+1

= f

n+2

, n ∈ N f

n+1

= f. f

n

, n ∈ N

Análogamente, si tomamos la relación f

2

= f + 1 y dividimos a los dos lados del signo igual por

f, obtenemos . Si volvemos a dividir esta relación por f, resulta que , y en

general, podemos comprobar que se cumple la igualdad: . Por tanto,

la sucesión numérica

(13)

tiene las mismas propiedades

aditivas y multiplicativas que la sucesión 1, f, f

2

,…, f

n

,…

Estas sucesiones están relacionadas con la conocida sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., an

, an+1

, ...136

Constantino de la Fuente Martínez

SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.

Esta última tiene propiedades aditivas, pues si n es un número natural, entonces an

+ an+1

= an+2

,

y también desarrolla un crecimiento que, asintóticamente

(14)

, está relacionado con el número f.

Esto lo podemos expresar matemáticamente como: . Es decir, si n es muy grande,

entonces los términos de la sucesión de Fibonacci se obtienen, aproximadamente, de multiplicar

el término anterior por el número de oro. Estas propiedades, que la sucesión 1, f, f

2

,…, f

n

,…

cumple en todos sus términos, hacen que se la considere como la sucesión que representa el

crecimiento armonioso por excelencia, ya que todos sus elementos se pueden obtener indistintamente mediante crecimiento aritmético (aditivo) o geométrico (multiplicativo) y esto hace

que la evolución de los términos de la sucesión sea de aumento, pero manteniendo la misma

forma en el resultado final. Esta característica es la que dirige habitualmente el crecimiento en

la naturaleza y es la que produce las simetrías dinámicas, el equilibrio y la armonía estética.

Si más arriba nos hemos acercado al número de oro mediante la partición de un segmento en

media y extrema razón, lo vamos a hacer ahora por medio de los denominados rectángulos

áureos. Para los lectores no conocedores de este concepto, vamos a comenzar definiéndolo:

Un rectángulo de lados a y b (con a<b) diremos que es

áureo si al quitarle un cuadrado de lado a, el rectángulo

que queda, que tiene de lados a y b – a es semejante al

primero. Representando la situación gráficamente y asignando a cada lado su longitud, podemos aplicar a los dos

rectángulos la propiedad que nos dice que el cociente de

lados homólogos es siempre constante, por lo que, en la

figura se cumplirá que:

Operando en la igualdad anterior, podemos obtener: b(b – a) = a

2

, o también b

2

– ab – a

2

= 0. Esta

ecuación coincide con la ecuación (1) obtenida al dividir el segmento en media y extrema razón,

por lo que podemos obtener que b = a. f. Por tanto, para que un rectángulo sea áureo, el lado mayor

debe ser igual al lado menor multiplicado por el número de oro. Además, el rectángulo menor,

obtenido del mayor suprimiendo un cuadrado, también es áureo; es decir, si le quitamos el mayor

cuadrado contenido en él, el rectángulo que queda también es semejante a él y por tanto áureo, y

así sucesivamente. Volveremos más adelante sobre esta forma de dividir un rectángulo áureo.

3. DIVISIONES ARMÓNICAS DE UN POLÍGONO

La idea de estudiar las proporciones, no sólo en las longitudes

...