La Parabola

La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola:

1Foco: Es el punto fijo F.

2Directriz: Es la recta fija d.

3Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letrap.

4Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

5Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

6Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuación reducida de la parábola

1 El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas

Si:

Si:

2 El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas

Si:

Si:

Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen

Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen

Elementos de la elipse

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse:

1Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

7Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

9Eje menor:Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

11Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

Excentricidad

Es un número que mide en mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Ecuación reducida

Si el eje principal está en el de abscisas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(−c, 0) y F(c, 0)

Elipse con los focos en el eje OY

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, −c) y F(0, c)

Elipse con eje paralelos a OX y centro distinto al origen

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Elipse con eje paralelo a OY y centro distinto al origen

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0−c). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la hipérbola:

1Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

7Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.

8Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.

9Eje menor:Es el segmento de longitud 2b.

10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

11Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:

12Relación entre los semiejes:

Excentricidad

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

Ecuación reducida de la hipérbola

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(0, c)

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focostienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0−c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

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