La parabola

LA PARÁBOLA.

Se le llama parábola al conjunto de puntos cuyas distancias a un punto fijo y a una recta fija, llamados foco y directriz respectivamente, sean iguales

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA:

Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación:

VÉRTICE (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal.

EJE FOCAL (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas y pasa por el vértice.

FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice.

DIRECTRIZ (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola.

DISTANCIA FOCAL (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz.

CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

CUERDA FOCAL: Cuerda que pasa por el foco.

LADO RECTO (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

La forma canónica:

y = a . (x - h)^2 + k donde h y k son las coordenadas del vértice de la parábola

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CUYO VÉRTICE ESTÁ EN EL ORIGEN.

La ecuación algebraica que describe a la parábola se encuentra expresada en función de la posición geométrica de los elementos que la conforman, así como de la orientación propia de la misma, resultando en una ecuación característica de cada caso particular.

A efecto de ejemplificar la forma de obtener la ecuación mencionada, se trabaja con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal coincidiendo con el eje de las X y cuyas ramas se abren hacia la derecha.

Atendiendo a la definición de la parábola, se sabe que la distancia entre un punto “p” cualquiera de coordenadas (x,y), y el foco “f” será igual a la distancia existente entre la recta directriz (d) y dicho punto, según se aprecia en la fig 1A.

Y

D

(-p,y)

P

(x,y)

(-p,0)

(0,0)

V

F

(p,0)

De lo anterior resulta:

PD PF

Calculando la distancia entre los puntos anteriores mediante la fórmula de distancia entre dos puntos, resulta:

PD 

x (p)2 y y2

PD 

(x p)2

y

PF 

x p2 y 0

PF 

(x p)2 y 2

Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:

x p2 

x p2 y 2

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

(x p)2 (x p)2 y 2

x2 2 px p2 x2 2 px p 2 y 2

x 2 2 px p 2 x 2 2 px p 2 y 2

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:

y 2 4 px

Si el punto (6,-3) pertenece a la gráfica, entonces necesariamente satisface a

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN FORMA GENERAL

En cualquiera de los casos anteriores, la estructura de la ecuación de la parábola tiene las siguientes características:

Existe solamente una variable al cuadrado y otra lineal.

El coeficiente de la variable lineal (4p) representa la proporción del lado recto con respecto de la distancia focal.

Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, es una ecuación de segundo grado, que puede expresarse en la forma general de este tipo.

En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula:

Hacemos operaciones:

Damos valores a:

Sustituyendo

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