Matematicas Exani Ii

Matemática: Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias».

Según los Sabios, se dice que la matemática abarca tres ámbitos:

• Aritmética.

• Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.

• Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.

Aritmética

Aritmética es la parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos.

Las cuatro operaciones básicas de la Aritmética son:

• Suma

• Resta

• Multiplicación

• División

• Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división

Todas estas operaciones se verifican a través de su operación inversa: la suma con la resta, la multiplicación con la division

Suma

Se utiliza para juntar, agregar, unir, etc, 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud (categoría)

La suma o adición es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.

En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores...

Propiedades de la suma

• Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.

• Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c

• Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.

• Elemento opuesto. Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos de sumas infinitas.

Notación

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.

También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.

2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.

En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo símbolo, que se llama sumatorio y se representa con la letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:

es la suma de los cien primeros números naturales.

es la suma de las diez primeras potencias de 2.

Suma de fracciones

Hay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común.

Segundo caso: la suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla.

Pasos

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador)

Resta

Se utiliza para restar, descontar, disminuir, etc., 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud (categoría)

La resta o substracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, y se trata básicamente de la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.

En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.

En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma

Resta de fracciones

Resta de fracciones que tienen el mismo denominador

Para restar dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador, sólo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

Resta de fracciones con distinto denominador

1. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:

(mínimo común múltiplo de 4 y 2)

2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (4)

( 6*4/4=6 )

Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2)

( 1*4/2= 2 )

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

Multiplicación

Se utiliza para resolver problemas donde se suman “n” veces las mismas cantidades.

El producto o la multiplicación es una operación aritmética que se puede explicar como una manera de sumar números idénticos.

El resultado de la multiplicación de números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente como multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando).

La multiplicación se suele indicar con el aspa × o el punto centrado ·. En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computación

Definición

La multiplicación de dos números enteros n y m se define como:

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:

m×n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así que, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10

2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

4×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m×6 = m + m + m + m + m + m

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x e y:

x·y = y·x

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y y z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z)

En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:

1·x = x

es decir, la multiplicación tiene un elemento identidad que es el 1.

¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:

m·0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que

m·0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras extensiones de los números reales.

el producto vacío, es decir, multiplicar cero factores, vale 1.

Una definición recursiva de la multiplicación puede

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