Matematicas II

Modulo I

Sentido Numérico Y Pensamiento Algebraico

Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del estudio de la aritmética y del álgebra; por un lado, encontrar el sentido del lenguaje matemático, ya sea oral o escrito; por otro, tender un puente entre la aritmética y el álgebra, en el entendido de que hay contenidos de álgebra en la primaria, que se profundizan y consolidan en la secundaria.

Por medio del eje Sentido numérico y pensamiento algebraico, los alumnos profundizan en el estudio del álgebra con los tres usos de las literales, conceptualmente distintas: como número general, como incógnita y en relación funcional. Este énfasis en el uso del lenguaje algebraico supone cambios importantes para ellos en cuanto a la forma de generalizar propiedades aritméticas y geométricas.

Ejercicios:

Ejemplo: 675: Seis cientos, setenta y cinco.

1) ¿Cómo se leen en el número, del enunciado anterior, sólo las tres primeras cifras que hay de derecha a izquierda?

322se lee: _____________________________________________________

2) ¿Cómo se leen las seis primeras cifras que hay de derecha a izquierda?

971 322se lee: _____________________________________________________

3) ¿Cómo se lee el valor de las cifras que corresponden al 41?

41 000 000se lee: _____________________________________________________

4) ¿Cómo se lee el número completo?

41 971 322se lee: _____________________________________________________

Escribe sobre la raya el nombre a cada uno de los siguientes números.

5) 832 264____________________________________________________________

6)920 000 ____________________________________________________________

7)1 768 412 ____________________________________________________________

8) 243 800 051 _________________________________________________________

9)720 001 201 ___________________________________________________________

10) 15 202 451______________________________________________

11)452 659 231________________________________________

Sistemas de numeración

Nosotros estamos acostumbrados a representar cualquier cantidad valiéndonos de 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. A este sistema de representar cantidades le llamamos sistema numérico decimal o base 10. Sin embargo, el ordenador trabaja utilizando solamente 2 dígitos: 0 y 1, es decir, con el sistema binario o base 2. Cualquier cantidad se puede representar como una combinación de ceros y unos.

Sistema binario y decimal

Paso del sistema decimal al sistema binario

Para pasar del sistema decimal al sistema binario se realizan divisiones sucesivas entre dos, sin aproximar. Paramos cuando el resultado del último cociente es cero o uno. El número binario se forma, comenzando por la izquierda, por el último cociente, seguido en orden ascendente de los restos de las divisiones. En el ejemplo de la Figura 1.1, 75 en base 10 equivale a 1001011en base 2.

Paso del sistema binario al sistema decimal

Los números representados con el sistema binario, que contienen ceros y unos, pueden transformarse al sistema decimal de forma muy sencilla: en lugar de realizar divisiones sucesivas entre dos, como hemos hecho anteriormente, realizamos la operación inversa, es decir, multiplicamos de forma sucesiva por las potencias de 2. En el ejemplo anterior (Fig. 1.1), para llegar al último cociente 1 hemos tenido que dividir entre 2 seis veces. Por tanto, ahora multiplicaremos 1 por 26. Pero se debe continuar mientras queden restos completando el desarrollo polinómico en función de las potencias de 2, de forma que el resultado es:

Ejercicios:

Ejemplo: 475: 111011011

Convierte de Sistema Binario a Decimal los siguientes números:

1) 10011110:

2) 00010001:

3) 00100110:

4) 1110:

5) 111011101110:

Convierte de sistema decimal a sistema binario los siguientes números:

6) 32:

7) 147:

8) 43:

9) 80:

10) 7512:

Notación desarrollada, posicional y científica

La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

Siendo:

Unnúmero entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.

Un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

La posición que ocupa cada dígito en una cifra indica su valor.

Los números naturales forman parte del sistema de numeración decimal, por lo que se ordenan en periodos, clases y órdenes; cada periodo (unidadesmillones) tiene dos clases, y cada clase, tres órdenes, como se establece en la siguiente tabla:

Periodo de los millones Periodo de las unidades

Clase de los millares de millón

(millardos) Clase de los millones Clase de los millares (mil) Clase de las unidades

C D U C D U C D U C D U

Órdenes:

U representa las unidades

D representa las decenas

C representa las centenas

En notación desarrollada, esta clase se representaría de la siguiente forma:

8 unidades de millar x 1 000 = 8 x 1 000 = 8 000

6 decenas de millar x 10 000 = 60 x 10 000 = 60 000

0 centenas de millar x 100 000 = 0 x 100 000 = 0

En este caso, aunque la casilla de las centenas de millar no tiene valor, el número puede leerse sin mayor problema: 510 068 000 (510 millones 68 mil…). Como podrás observar, el hecho de que no haya centenas de millar no afecta la lectura; por ejemplo: si en lugar de este número se tuviera 510 268 000 se leería: 510 millones 268 mil… o 510 003 000, que se leería 510 millones 3 mil…

A continuación, escribe los dígitos que corresponden a las unidades, decenas y centenas de la clase de las unidades de la siguiente forma:

Periodo de las unidades

Clase de los millares (mil) Clase de las unidades

C D U C D U

100 10 1

0 0 0

0 unidades x 0 = 0 x 0 = 0

0 decenas x 10 = 0 x 10 = 0

0 centenas x 100 = 0 x 100 = 0

Ejercicios:

Ejemplo: Siete millones, un mil, setenta y ocho = 7, 001,068

Escribe los siguientes números ennotación desarrollada:

1) 25, 304,001 =

2) 668,123 =

3) 90, 867,536 =

4) 89,234 =

Escribe con letras las siguientes cantidades:

5) 456

6) 7,856

Escribe en notacióncientífica las siguientes cantidades:

7) 234

8) 67, 098,765

9) 234,876

10)788,452

Aritmética de fracciones

Una fracción aritmética es un fraccionario que expresa una cantidad dividida por otra, quiere decir, en los numeradores y denominadores se dividen entre sí. También se considera fracción aritmética al dividir un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador.

Numerador

-------------------

Denominador

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

1. Se reducen los denominadores a común denominador:

1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

1. Se reducen los denominadores a común denominador:

1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

m.c.m.(4, 6) = 12

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

.

.

Ejercicios: 1.

1. 7/12 - 15/25 =

2. 33/15 × 43/11 =

3.7/12 × 15/25 =

4.1/5 × 2/5 =

5. 1 7/9 ÷ 3 5/11 =

6. 1/5 + 2/5 =

7. 1 7/9 + 3 5/11 =

8. 3 7/9 - 3 5/11=

9. 3/8 ÷ 2/7 =

10. 5/9 ÷ 7/4 =

Razones y proporciones

RAZONES

RAZÓN O RELACIÓN de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o diferencia y razón geométrica o por cociente.

RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.).

Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6. 4 y se lee seis es a cuatro.

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.

Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de quebrados, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división ( ).

Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe u 8 4, y se lee, ocho es a cuatro.

Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

EJERCICIOS:

Ejemplo: La razón geométrica de dos números vale 4/7 y su razón aritmética es 45. Determinar el menor de los números: R=60

1) La relación entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2. Se sabe que, dentro de

8 años, dicha relación será 5/4. ¿Cuál es la edad actual de la hermana menor?

2)Los consecuentes de una serie de razones iguales son respectivamente 2;9 y 13. Si la suma de los antecedentes es 480, ¿Cuál es la suma de los dos primeros antecedentes?

3)¿Cuál de los siguientes pares de razones forman una proporción?

1/2 y 5/10. 2/3 y 4/5

4) X/8 = 12/32

5) 5/12 = X/36

6)6/15 = 48/X

7) 0.2/5 = 18/X

8)En una fabrica de bebidas, una botella de 2 litros es llenada en 30 segundos. ¿Cuánto tiempo demorara en llenarse una botella de 3 litros?

9) En una colmena, 13 abejas demoran 20minutos en fabricar 550ml de miel, si el trabajo es realizado por el doble de abejas, ¿Cuánto tiempo demoraran en fabricar la misma cantidad de miel?

10) Dos numeros son entre sicomo 7 es a 13, sial menor se le suma 140, para que elvalor de la razon no se altere, el valor del otro numero debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los dos.

PROPORCIONES ARITMÉTICAS.

EQUIDIFERENCIA O PROPORCIÓN ARITMÉTICA es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.

Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes:

a – b = c – d y a . b :: c . d y se lee a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA

Los términos de una equidiferencia se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También según lo visto antes se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.

Así, en la diferencia 20 – 5 = 21 – 6, 20 y 6 son los extremos, y 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.

CLASES DE EQUIDIFERENCIAS

Hay dos clases: Equidiferencia discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales, por ejemplo, 9 – 7 = 8 – 6 y equidiferencia continua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 10 – 8 = 8 – 6.

EJERCICIOS:

Hallar el término medio proporcional entre:

Ejemplo: 50 – 42 = 25 – x = 17

1)16.5 – 8 = x – 2 =

2) 45.3 – x = 18 – 0.03 =

3) x – 0.4 = 25 – 0.004 =

4) La media diferencial de una proporción es 24. Determinar la razón de la proporción, si el primer extremo es el doble del segundo.

5) En una proporción geométrica se sabe que el producto de extremos es 600. Si los términos medios son consecutivos. ¿Cuál es la suma de los términos medios?

6) Si 12 perros comen 36 kg de alimento en 6 días. ¿Cuántos kg comen 15 perros en 8 días?

7)

8)

9)

10)

Porcentajes

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa “de cada cien unidades”. Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.

Como "por ciento" quiere decir "por cada 100" deberías pensar siempre que "hay que dividir por 100"

Así que 75% quiere decir 75/100

Y 100% es 100/100, o exactamente 1 (100% de cualquier número es el mismo número)

Ejercicios:

Ejemplo: ¿De cantidad es 35 en 5%? R= 700

1) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

2)Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

3)Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

4) Halla el tanto por ciento que representa 27 de 216.

5) Calcula el 28% de 375.

6) Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

7) ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?

8)Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

9)Halla el número decimal correspondiente a cada uno de estos porcentajes:

75% 130% 2%

10)¿Qué tanto por ciento representa 345 de 1 500?

Función lineal y su grafica

Toda función lineal f(x) = ax es una relación de proporcionalidad.

¿Cómo representar una función lineal gráficamente, es decir, cómo representar una relación de proporcionalidad en una gráfica?

I. Grafica de una función lineal

1. Un ejemplo

Representemos gráficamente la función linealf(x) = 2x.

Para ello, sobre un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, tomamos un valor cualquiera x sobre el eje de abscisas y hallamos el correspondiente valor de la ordenada y para obtener las dos coordenadas del punto correspondiente.

Así, si x = 1, tenemos f (1)= 2, de donde obtenemos el punto de coordenadas (1, 2).

Tomamos algunos valores aleatoriosde x y hallamos los correspondientes valores de y.

Para ello, resulta cómodo usar una tabla como la siguiente:

Representando estos puntos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 1.

Vemos que los puntos A, B, C y D pertenecen a la recta que pasa por el origen.

De hecho, todos los puntos que obtengamos para esta función están situados sobre esa recta, que es la representación gráfica de la función lineal f(x) = 2x.

La función lineal o función afín es aquella cuya representación gráfica es una recta. La ecuación explícita que representa a esta función es la siguiente: donde “a” es la pendiente de la recta, y “b” es la ordenada al origen.

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. y = 2x

Ecuaciones lineales

Sistemas de Coordenadas Cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto 0 de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes. Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas cuadrantes. Estos cuadrantes son numeradas en forma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:

Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números llamado par ordenado. El primer número del par, que se llama la abscisa; está en la recta horizontal, el eje de x. El segundo número del par se llama la ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.

(1, 4)

Eje de x Eje de y

Abscisa Ordenada

Los números negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:

El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:

y = 4x + 8

y = x2 + 2x + 5

3y = 5x + 8

Digamos que queremos hacer la gráfica la ecuación lineal y = 3x + 7. Hay que asignar valores a la x y resolverlo para encontrar el valor de y. Con los resultados se formaran los puntos de la gráfica de la siguiente manera:

Ej. Encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x, los valores de -2, -1, 0, 1 y 2

x y

-2

-1

0

1

2

Y = 3x + 7

Y = 3(-2) + 7 [Cuando la x es -2, la y es 1]

Y = -6 + 7

Y = 1

Así es sucesivamente con las demás. Hasta obtener todos los resultados.

x y

-2 1

-1 4

0 7

1 10

2 13

Y así se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuación lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.

Veamos cómo queda la gráfica de la ecuación y = 3x + 7. (Ver Parte

Para verificar que un punto sea solución de la ecuación hay que hacer lo siguiente:

1. Sustituir la abscisa por x.

2. Sustituir la ordenada por la y (siempre recordar la forma {x,y} )

3. Resolver la ecuación.

4. Si resulta ser igualdad, entonces el punto es solución de la ecuación.

Ejemplo 1: ¿Es(3,11) una solución a la ecuación y = 2x + 5?

Y = 2x + 5

11 = 2(3) + 5 < Sustituir los puntos por x y>

11 = 6 + 5 < Resolver>

11 = 11 < Hay igualdad>

Quiere decir que el punto (3,11) es una solución a la ecuación.

Ejemplo 2: ¿Es (2,8) una solución de la ecuación y = 2x + 5?

y = 2x + 5

8 = 2(2) + 5 < Se sustituyo la x y la y>

8 = 4 + 5 < Resolver>

8 = 9 <FALSO, no es solución>

El punto (2,8) no es solución.

Ejercicios:

Ejemplo: 3+x=15 R= 12

Graficarlas siguientes ecuaciones:

1)2x + 6

2) -9x + 3

3)2x + 4

4)5x +1

5) 12 +3x

6)3x -1

7) 13y= 78

8) 94x= 188

9) 7x+3

10) 34y + 9

Modulo II

Concepto de recta

Línea o segmento que va de un punto a otro. Es un segmento o unión infinita de puntos con una sola dirección.

Tipos de rectas

Rectas paralelas: son 2 que no se intersecan, ya que tienen la misma pendiente

Rectas secantes: son 2 rectas que se intersecan en un punto, ya que tienen distintas pendientes. Hay dos tipos de rectas secantes:

- Rectas Perpendiculares u Ortogonales: Se intersecan formando 4 ángulos rectos (90º). El producto de sus pendientes es -1

- Rectas Secantes: Se intersecan formando un par de ángulos agudos y otro par de ángulos obtusos.

-Diagonales (transversal)

-Tangentes

Concepto de punto

Donde se cortan dos o más rectas. Punto de inicio u origen de una recta.

Concepto de Angulo (tipos de ángulos)

Angulo: Abertura de dos rectas

Tipos de ángulos:

Rectas: unAngulo de 90º

Agudas: un Angulo menor de 90º

Obtuso: un ángulo mayor de 90º pero menor de 180º

Llano o plano: un ángulo de 180º

Reflejo o cóncavo: un ángulo de más de 180º

Convexo: Menor de 180º

Conjugados: Suman 360º

Ángulos clasificados según su posición:

Adyacentes: Tienen un mismo vértice, tienen un lado común y los otros dos lados pertenecen a una misma recta.

Opuestos por el vértice: Tienen un vértice en común y los lados de uno es la prolongación del otro.

Alternos internos: Tienen diferente vértice, uno a cada lado de la transversal y por dentro de las paralelas.

Alternos externos: Lo mismo que el interno, pero por fuera de las paralelas.

Correspondientes: Tienen diferente vértice del mismo lado dela transversal uno dentro y otro fuera de las paralelas.

Colaterales internos: Tienen diferente vértice del mismo lado de la transversal y por dentro de las paralelas.

Colaterales externas: Lo mismo que el interno, pero por fuera de las paralelas.

Suplementario: Aquellos de 180º

Congruentes: Son iguales.

Complementario: La suma de dos o másángulos cuyo resultado sea de 90º se llamacomplementaria.

Perigonal: Son aquellos de 360º

Ángulos formados entre dos rectas paralelas cortadas por una secante

Observamos los ocho ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante. Veamos los ángulos que son iguales y los que son suplementarios.

Ángulos iguales

1 ̂ = 3 ̂ 2 ̂ = 4 ̂ 5 ̂ = 7 ̂ 6 ̂ = 8 ̂} Opuestos por el vértice.

1 ̂ = 5 ̂ 3 ̂ = 7 ̂} Lados paralelos, ambos obtusos.

2 ̂ = 6 ̂ 4 ̂ = 8 ̂} Lados paralelos, ambos agudos.

Ángulos suplementarios

1 ̂ y 2 ̂ , 3 ̂ y 4 ̂ , 5 ̂ y 6 ̂ , 7 ̂ y 8 ̂ , 1 ̂ y 4 ̂ , 2 ̂ y 3 ̂ , 5 ̂ y 8 ̂ , 6 ̂ y 7 ̂ (por ser adyacentes).

1 ̂ y 6 ̂ , 2 ̂ y 5 ̂ , 3 ̂ y 8 ̂ , 4 ̂ y 7 ̂ , 1 ̂ y 8 ̂ , 2 ̂ y 7 ̂ , 3 ̂ y 6 ̂ , 4 ̂ y 5 ̂ (por ser de lados paralelos, uno agudo y otro obtuso).

Ejercicios:

Ejemplo:

Tipo de triángulos

Tipos de triángulos

Según sus lados

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales

Según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto

El lado mayor es la hipotenusa.

Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Fórmula para encontrar los ángulos internos de un polígono regular.

180º(n-2) La fórmula es correcta:

A = 180(n-2) grados sexagesimales siendo "n" el número de lados del polígono (que es el mismo que el número de vértices).

Demostración:

Si desde uno de los "n" vértices del polígono se trazan las rectas que le unen con todos los demás, se determinarán "n-2" triángulos (dos de esas rectas son los lados adyacentes al vértice y no forman triángulos).

Es fácil ver gráficamente que la suma de los ángulos de todos esos triángulos equivale a la suma de todos los ángulos interiores del polígono.

Como la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados:

A = (n-2)*180 (cqd)

Ejercicios:

Ejemplo: ¿Cuánto suman los ángulos internos de un icosagono? R= 3240º

1) ¿Cuántos grados tiene una figura cuya suma de los ángulos internos suman 3,889?

2) ¿Cuántos grados tiene una figura cuya suma de los ángulos internos suman 653?

3)¿Cuántos grados tiene una figura cuya suma de los ángulos internos suman 180?

4) ¿Cuántos grados tiene una figura cuya suma de los ángulos internos suman 884?

5)¿Cuántos grados tiene una figura cuya suma de los ángulos internos suman 6,553?

6) ¿Cuánto suman losángulos internos de un cuadrado?

7) ¿Cuánto suman los ángulos internos de un hexágono?

8)¿Cuánto suman los ángulos internos de un pentágono?

9)¿Cuánto suman los ángulos internos de un octágono?

10)¿Cuánto suman los ángulos internos de un trapecio?

Semejanza de triángulos por el teorema de tales

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de Tales

El teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo:

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Ejercicios:

Ejemplo: 50º, es un ángulo agudo.

Trazar los siguientes ángulos con tu transportador y describe que tipo de ángulo pertenece:

1)320º

2)60º

3)182º

4)98º

5)65º

6)90º

7)150º

8)50º

9)77º

10)284º

Resolución de triángulos por el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.

Si un triangulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que a2+b2=c2

Ejercicios:

Ejemplo:

1)

2)

3) Encuentra el lado faltante.

4)

Áreas y perímetros de figuras geométricas

Ejercicios:

Ejemplo:

Ejemplo: Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado 3+3+3+3=12m

1) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 11,3 m de lado.

2) Averigua el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 29,2 cm.

3) Halla el lado de un cuadrado cuya superficie mide 6,25 centímetros cuadrados.

4) Halla el perímetro de un cuadrado cuya superficie mide 10,24 centímetros

Cuadrados.

5) Halla el lado de un cuadrado cuyo perímetro mide 34 m.

6) La diagonal de un cuadrado mide 9 metros. Calcula su área.

7) Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 4,5 m y 7,9 m

Respectivamente

8) Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 6,3 dm y 48 cm

Respectivamente.

9) El perímetro de un rectángulo es 20,4 dm. Si uno de sus lados mide 6,3 dm, halla el

Área.

10) El área de un rectángulo es 6384 decímetros cuadrados. Si la base mide 93 cm,

¿Cuánto mide la altura? y ¿Cual es su perímetro?

...