Matematicas II

Centro de Bachillerato Tecnológico agropecuario Nº 17

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Villa Úrsulo Galván, Ver., a Junio del 2004

ÍNDICE

UNIDAD I GEOMETRÍA EUCLIDIANA

1.1. Introducción a la Geometría Euclidiana

1.1.1. Antecedentes históricos de la Geometría

1.1.2. Conceptos básicos

        1.1.2.1. Punto

        1.1.2.2. Recta

                1.1.2.2.1. Semi-recta

                1.1.2.2.2. Segmento

        1.1.2.3. Plano

        1.1.2.4. Superficie

1.1.3. Proposiciones verdaderas

1.1.3.1. Axioma

1.1.3.2. Postulado

1.1.3.3. Corolario

1.1.3.4. Teorema

1.2. Nomenclatura y notación de la recta

1.2.1. Bisectriz

1.2.2. Mediatriz

1.2.3. Perpendicularidad

1.2.4. Paralelismo

1.2.5. Congruencia

1.2.6. Semejanza

1.3. Ángulos

        1.3.1. Clasificación de ángulos

1.3.1.1. Ángulo en posición normal

1.3.1.2. Ángulos coterminales

1.3.1.3. Ángulo recto

1.3.1.4. Angulo agudo

1.3.1.5. Angulo obtuso

1.3.1.6. Ángulo llano

1.3.1.7. Ángulo cóncavo

1.3.1.8. Ángulo perígono

1.3.2. Demostración de teoremas de ángulos

1.3.2.1. Ángulos contiguos

1.3.2.2. Ángulos adyacentes

1.3.2.3. Ángulos opuestos por el vértice

1.3.2.4. Ángulos formados por una recta que  corta a dos líneas paralelas

1.3.2.5. Ángu      los complementarios

1.3.2.6. Ángulos suplementarios

1.3. Medida de los ángulos

1.3.3.1. Sistema sexagesimal

1.3.3.2. Sistema circular

1.3.3.3. Sistema centesimal

1.4. Triángulos

1.4.1. Definición, notación y clasificación de triángulo

1.4.1.1. Con relación a sus lados

1.4.1.2. Con relación a sus ángulos

1.4.2. Rectas y puntos notables de un triángulo

1.4.2.1. Altura de un triángulo

1.4.2.2. Mediana

1.4.2.3. Bisectriz

1.4.2.4. Mediatriz

1.4.3. Congruencia y semejanza

        1.4.3.1. Congruencia

1.4.3.2. Casos de congruencia

1.4.3.3. Semejanza

1.4.3.4. Aplicaciones de semejanza

1.4.3.5. Teorema de Pitágoras

1.5. Polígonos

1.5.1. Definición, notación y clasificación de polígonos

1.5.2. Apotema, diagonales y ángulos de los polígonos

1.5.3. Cuadriláteros y sus propiedades

1.6. Circunferencia

1.6.1. Definiciones

1.6.2. Medición de ángulos y arcos en una circunferencia

1.6.3. Concepto de π

1.6.4. Perímetro de la circunferencia

UNIDAD II TRIGONOMETRÍA

2.1. Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

2.1.1. Descripción de las relaciones trigonométricas

2.1.2. Funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal

2.1.3. Signos de las funciones trigonométricas

2.1.4. Valores de las relaciones trigonométricas para ángulos que limitan los cuadrantes

2.1.5. Funciones dé ángulos notables

2.1.6. Identidades trigonométricas

2.1.7. Relaciones trigonométricas para suma, diferencia, ángulos dobles y semi-.ángulos

2.1.7.1 Funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos

        2.1.7.2. Funciones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

2.1.7.3. Funciones trigonométricas de ángulos dobles

2.1.7.4. Funciones trigonométricas de semi-ángulos

2.1.7.5. Resolución de triángulos rectángulos

2.2. Relaciones trigonométricas en otros triángulos

2.2.1. Teorema de los senos

2.2.2. Teorema de los cosenos

2.3. Representación grafica de las funciones Seno, Coseno y Tangente

2.3.1. Gráfica de la función seno

2.3.2. Gráfica de la función coseno

2.3.3. Gráfica de la función tangente

1.1. Introducción a la Geometría Euclidiana

La geometría, es una parte de la matemática que estudia las propiedades de los cuerpos, sustituyéndolas por fisuras arbitrarias o dibujos, para reproducir su forma y tamaño, así como su posición en los cuadrantes de un plano.

Derivó su nombre de las primeras aplicaciones que se hicieron de sus conocimientos en la medida de la tierra, en el antiguo Egipto, cuando los agrimensores tenían que calcular las parcelas y trazar los linderos, cada vez que el río Nilo se llevaba las marcas de la tierra que los reyes habían dividido para el pago de impuestos.

A la geometría se le clasifica de la siguiente manera:

a) Geometría plana.- Para el estudio de formas y tamaños en dos dimensiones. Por ejemplo cuadrado, triángulo, círculo.

b) Geometría del espacio o sólida.- Para el estudio de cuerpos en tres dimensiones. Ejemplo: prismas, conos, esferas, cubos.

c) Geometría analítica.- Se hace estudio de las figuras geométricas con operaciones algebraicas.

d) Geometría descriptiva.- Emplea la representación de formas tridimensionales en dibujos de dos dimensiones.

e) Geometría proyectiva.- Sin emplear mediciones hace representación de las figuras.

1.1.1. Historia de la Geometría

Aunque según Herodoto, historiador griego, la geometría tuvo sus inicios con los egipcios y babilonios, fue en Grecia donde se inicia como ciencia deductiva, es decir, con métodos que le permiten obtener proposiciones como consecuencia de otras. A pesar de que inicialmente los griegos habían puesto a la geometría en el plano de lo sagrado.

Los babilonios hicieron aportaciones con las propiedades de la circunferencia y la rueda. Esta civilización establecida en Mesopotamia, en las orillas de los ríos

Eufrates y Tigris, hicieron objeto de estudio por primera vez a las matemáticas 4000 años a. de C. Evidencias de sus aportaciones han sido dos tablas encontradas en Senkerch, en 1845, que tenían el cuadrado de los primeros números hasta 82, en numeración decimal y de ahí en adelante en sexagesimal, que ahora sólo se emplea en medida horaria y angular.

Los egipcios relacionaron la geometría y la astronomía en la construcción de las pirámides, además de que resolvían las áreas del círculo, el triángulo isósceles y el trapecio.

Fueron varios griegos los que vincularon su vida a la geometría. Como Tales de Mileto, que la represento como ciencia racional, porque sus estudios lo condujeron a resolver distancias inaccesibles. Pitágoras, que aunque nada se sabe de sus inventos, se le atribuye el descubrimiento de la tabla de multiplicar y el teorema que lleva su nombre. Platón, que consideraba que no se debería estudiar con fines prácticos, sino con el único fin de conocer: dividió a la geometría en elemental y superior, la primera comprendía sólo los problemas que se podían resolver con regla y compás, la geometría superior estudiaba los tres problemas más famosos de la geometría antigua, no resolubles con regla y compás, sino con curvas especiales y que solo son de importancia teórica; estos son:

1. Cuadratura del Círculo.- Que consiste en construir con regla y compás el lado de un cuadrado, que tenga la misma área que un círculo.

2. Trisección del ángulo.- Dividir un ángulo en partes iguales, con regla y compás; sólo en casos particulares es resoluble.

3. Duplicación del cubo.- Mediante construcción geométrica, con regla y compás, un cubo que tenga un volumen doble al de un cubo dado.

Pero todo culminó con los elementos, que consta de 13 capítulos llamados libros, lo escribió Euclides, siglo IV a. de C. y del cual se han hechos tantas ediciones que sólo lo aventaja la Biblia.

Empieza con 23 definiciones, como éstas:

“Un punto, es lo que no tiene partes”

“Una línea es una longitud sin anchura”

Con 5 postulados:

“Todos los ángulos rectos son iguales”

“Por dos puntos distintos pasa una recta”

Con 8 axiomas:

“El todo es mayor que una de sus partes”

“Cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre sí”

Hasta el siglo XIX, se consiguen progresos en la geometría por los trabajos de Gauss y Riemann, y aparece la geometría no euclidiana, que contradice los legados de Euclides, patrimonio intocable hasta entonces. Por ejemplo, en España en las universidades islámicas crean la función seno y tangente, dado que el Islam favorece la investigación científica.

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