Polinomios

Polinomios

Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio

este tiene 3 términos

Están hechos de:

constantes (como 3, -20, o ½)

variables (como x e y)

exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ - × sumas, restas y multiplicaciones...

... ¡pero no divisiones!

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:

• 3x

• x - 2

• 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios

• 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido

• 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)

Pero esto sí está permitido:

• x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)

• también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

¿Cómo te aprendes los nombres?

¡Piensa en bicicletas!

(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco)

Muchos términos

Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.

¿Qué tienen de especial los polinomios?

Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.

Por ejemplo sabemos que:

• Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio

• Si multiplicas polinomios te sale un polinomio

Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un polinomio al final.

Grado

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.

Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Para casos más complicados, lee Grado (de una expresión).

ntecentes

Para hacer comprobaciones sobre lo que se verá en éste tema se puede usar nuestra calculadora de división sintética. Si dividimos el polinomio 2x3 - 4x2 - 3x + 2 entre el polinomio x - 3

encontramos que el cociente es 2x2 + 2x + 3 y que el residuo es 11. Por otra parte, si evaluamos numéricamente la función polinomial ƒ(x) correspondiente al polinomio 2x3 - 4x2 - 3x + 2 para el valor de x = 3, se obtiene

ƒ(x) = 2x3 - 4x2 - 3x + 2

ƒ(3) = 2(3)3 - 4(3)2 - 3(3) + 2

ƒ(3) = 2(27) - 4(9) - 9 + 2

ƒ(3) = 54 - 36 - 9 + 2

ƒ(3) = 11

No es ninguna casualidad que el residuo de la división anterior entre x - 3 y la evaluación numérica para ƒ(3) ambas den como resultado respectivamente residuo y valor numérico de 11. La explicación de esta coincidencia se encuentra en el Teorema del residuo.

¿Todavía tienes dudas sobre este tema?

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Teorema del residuo

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio.

¿Todavía tienes dudas sobre este tema?

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Teorema del factor

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

Objetivos:

Dividir un polinomio por un binomio de la forma x-c.

Usar el teorema del residuo en conjunto con la división sintética para determinar un valor funcional de un polinomio.

Usar el teorema del factor en conjunto con on la división sintética para encontrar los factores y ceros de un polinomio.

Introducción

La división sintética.se puede utilizar para dividir una función polinómica por un binomio de la forma x-c. Esto nos permite,

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