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Enviado por • 23 de Abril de 2013 • 925 Palabras (4 Páginas) • 274 Visitas
TEORÍA DE CONJUNTOS
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.
Ejemplos de conjuntos:
Ø : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A = {1,2,3, ... ,n}
B = {p Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a A a B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A B y B A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que A y A A; B A es un subconjunto propio de A si A y B A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota (A).
Entonces, la relación B A es equivalente a decir B (A). Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces (A) = { ,{a},{b},A}.
Si a A entonces {a} (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A B := { x | x A x B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A B := {x | x A x B}.
Diferencia es A – B = {x | x A x B}
Diferencia simétrica es A B = (A – B) (B – A)
Si se tiene un conjunto A y otro conjunto U tal que A U, definimos el complemento de A con respecto a U como: A ̅=U-A, donde a U se le conoce como el universo relativo.
Para el conjunto A, se define el conjunto potencia o de partes de A, que denotamos P(A), como el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, es decir: P(A) = {S / S A }.
Para los conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de A y B como el conjunto A x B = {(a, b) / a A b B}
Ejemplos:
Si A = {a, b, c} y B = {b, c, d}. Calcule A B, A B, A – B, A B.
Si U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 5} y B = {1, 5}. Calcule A ̅ , (A ∪B) ̅, (A-B) ̅.
Si A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}. Calcule P(A), P(B) y P(B – A).
Si A = {1, 2}, B = {a, b} y C = {5}. Calcule C x A y A x B.
Si U = {1, 2, 3}, A = {1, 3}, B = {2}. Calcule (A xB) ̅ - (A ̅ x B ̅)
PRACTICA
Si A = {a, b, c}, B = {c, d, e} y C = {c, e, f, g}, calcule los conjuntos A x (B – C), P (A – B), (A C) B.
Si U = {a, b, c, d, e, f}, A = {a, b, e}, B = {c, e, f} y C = {b, e, f}, calcule [(A – B) C ((B∆C)∪{d}) ̅
Si A = {, 2, {2}} y B = {1, {2}} determine los conjuntos B x A, A B, P(A), B – A.
Si A = {{}, 1, {2}, {3}} y B = {3, {2}} calcule A B, P(A – B), A x B, A B.
Si A = {a, b}, B = {b, c, d} y C = {a, d}, donde el conjunto universo es U = {a, b, c, d, e, f} calcule (A C) B, P(A ̅∩ B ̅), (C x B) – (A x C)
Sea U = {1, 2, …, 8, 9} el universo, A = {3, 4, 5}, B = {3, 5, 8, 9}. Calcule los conjuntos P(A B), (B-A) ̅, (A B) x ((A ∪B) ̅)
Si A = {a}. Calcule P(P(A)) y P(A) x P(A).
Sean A = {2, 3, 4}, B = {1, 3, 4} y C = {1, 2, 4}, con el conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} como universo. Calcule
C – (A B)
P(A) - P(B)
(A C) x ((B ∪C) ̅
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