Alternativas de Decisión con Programación Lineal: El problema

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                             UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

           DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POST-GRADO

                             MAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS

Identificar los Elementos que tiene un modelo de programación lineal y sus herramientas de solución para la Toma de Decisiones en la empresa

Tarea Nº 2 Utilizar la Programación Lineal como herramienta de análisis para la Toma de Decisiones en la Empresa

                                     Realizado por: 

                                                        Amarelis Ybarra   C.I 15.032.367

                                                                        Profesor: 

María Teresa Borges Matute

Noviembre 2022

Alternativas de Decisión con Programación Lineal: El problema.

Identificar los elementos que tiene un modelo de programación lineal y sus herramientas de solución para la toma de decisiones en la empresa. Ejercicio: UNIDAD 3 Debido a que la empresa para la que trabaja se enfrenta a un entorno sobre el cual existe plena certeza para decidir, con base en el modelo de programación lineal se le presenta el enunciado siguiente:

    Giapetto Woodcarving, manufactura dos tipos de juguetes de Madera, soldados y trenes. Un soldado se vende en 27 dólares y requiere 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 14 dólares. Un tren se vende en 21 dólares y utiliza 9 dólares de su valor en materia prima. Todos los trenes fabricados aumentan la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 10 dólares. La fabricación de soldados y trenes de madera requieren dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y acabados. Un soldado necesita dos horas de trabajo de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. Todas las semanas, Giapetto consigue todo el material necesario, pero solo 100 horas de trabajo de acabado y de 80 de carpintería. La demanda de trenes es ilimitada, pero se venden cuando mucho 40 soldados por semana. Giapetto desea maximizar las utilidades semanales (ingresos – costos).

Diseñe un modelo matemático para la situación de Giapetto que se use para maximizar las utilidades semanales de la empresa.

Solución:

Variables de decisión.

Se comienza por definir las variables de decisión que se encuentran en el problema. En cualquier modelo de programación lineal, las variables de decisión deben describir por completo las decisiones que se tienen que tomar, en el caso de Giapetto evidentemente, debe decidir cuántos soldados y trenes se deben fabricar cada semana.

    En este ejemplo, se definen las variables de la siguiente manera:

      X¹ = cantidad de soldados fabricados cada semana

                            X² = cantidad de trenes fabricados cada semana

Función Objetivo.

  En cualquier método de programación lineal, el que toma las decisiones desea maximizar, por lo general los ingresos o las utilidades o reducir al mínimo (casi siempre los costos) algunas funciones de las variables de decisión. La función que se desea maximizar o minimizar lleva por nombre Función Objetivo. En lo que se refiere al problema de Giapetto, se observa que los costos fijos (como la renta o los seguros) no dependen de los valores X¹ y X² (variables). Por ende, Giapetto se puede concentrar en maximizar (los ingresos semanales) – (costos de compra de materia prima) – (otros costos variables).

    Los ingresos y los costos por semana de Giapetto se pueden expresar en términos de las variables de decisión X¹ y X². Sería un absurdo que está empresa fabricara más soldados de los que pueden venderse, ya que se supone que toda la producción de los juguetes se venderá. Entonces:

Ingresos por semana = ingresos por semana proporcionados por los soldados +

Ingresos por semana proporcionados por los trenes =

     Dólares         Soldado               Dólares              tren    [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

     Soldado         Semana                tren               semana               27 X¹ + 21 X²

De igual forma, Costos de la materia prima a la semana = 10 X¹ + 9X² otros costos variables a la semana = 14X¹ + 10X²

• Entonces, Giapetto quiere maximizar (27X¹ + 21X²) – (10X¹+9X²) – (14X¹+10X²) = 3X¹ + 2X²

        Otra manera de ver que Giapetto quiere maximizar 3X¹ + 2X² es observar que:

Ingresos semanales = contribución semanal a la utilidad por parte de los soldados - costos fijos semanales + contribución semanal a la utilidad por parte de los trenes costos de la materia prima a la semana = 10X¹ + 9X² otros costos variables a la semana = 14X¹ + 10X².

• Entonces, Giapetto quiere maximizar: (27X¹ + 21X²) – (10X¹+9X²) – (14X¹+10X²) = 3X¹ + 2X²

     Otra manera de ver que Giapetto quiere maximizar 3X¹ + 2X², es observar que:

 Ingresos semanales = contribución semanal a la utilidad por parte de los soldados - costos fijos semanales + contribución semanal a la utilidad por parte de los trenes.

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• Entonces al igual que antes se obtiene

Ingresos semanales - costos no fijos semanales = 3X¹ + 2x²

      Por consiguiente el objetivo Giapetto es escoger X¹ y X² para maximizar 3x¹ + 2X². Se utiliza la variable Z para denotar el valor de la función objetivo de cualquier PL (programación Lineal). La función objetivo de Giapetto es

Maximizar Z = 3X¹ + 2X²

(De aquí en adelante se abrevia “maximizar” como max y “minimizar” como min).

     El coeficiente de una variable en la función objetivo se denomina coeficiente de la variable de la función objetivo. Por ejemplo el coeficiente de la función objetivo para X¹ es 3, y el coeficiente para X² es 2.

     En este ejemplo (y en muchos otros problemas) el coeficiente de la función objetivo para cada variable es simplemente la contribución de la variable a la utilidad de la compañía. Entonces al igual que antes se obtiene: Ingresos semanales - costos no fijos semanales = 3X¹ + 2X²

Restricción.

     A medida que X¹ y X² se incrementan, la función objetivo de Giapetto se hace más grande. Esto quiere decir, que si Giapetto fuera libre para escoger cualquier valor para X¹ y X² la compañía podría tener utilidades arbitrariamente grandes al escoger X¹ y X² muy grandes.

    Desafortunadamente, los valores de X¹ y X² están controlados por las siguientes restricciones (con frecuencia llamadas limitaciones).

• Restricción 1: Se pueden usar cada semana no más de 100 horas de tiempo de acabado.
• Restricción 2: Cada semana se pueden usar no más de 80 horas de tiempo de carpintería.
• Restricción 3: Debido a la demanda limitada, cuando mucho se deben producir cada semana 40 soldados.

     Se supone que la cantidad de materia prima en existencia es ilimitada, así que no hay restricción alguna relacionada con esto.

     Siguiendo con el ejercicio, en el planteamiento de un modelo matemático para el problema de Giapetto es expresar las restricciones 1 a 3 en términos de las variables de decisión X¹ y X².

     Para expresar la restricción 1 de acuerdo con X¹ y X², obsérvese que:

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                                                                                              = 2(X¹) + 1(X²) = 2X¹+ X²

       Entonces la restricción 1 se expresa como 2X¹ + X² ≤ 100.

      Obsérvese que las unidades de todos los términos en (2) son horas de acabado por semana. Para que una restricción sea razonable, todos los términos de la restricción deben tener las mismas unidades.  De lo contrario, uno está sumando peras con manzanas, por lo que la restricción no tendría significado alguno.

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