Ayudantia 2

Métodos Matemáticos II

Semestre Primavera 2013, Ayudantía N° 2

Profesores: Máximo Lira, Humberto Cipriano, Jaime Salinas, Daniela Silva, Fernando Pizarro, Mauricio Cáceres, Alfredo Parra, Maritza Moreno

Ayudante: Mohit Karnani

COMENTES

Parte i.

Sean dos funciones reales de variable real f(x) y g(x), con límites l_1 y l_2 respectivamente cuando x tiende a x_0. Entonces, el límite del cuociente (f(x) )/(g(x)), cuando x tiende a x_0, corresponderá al cuociente entre los límites de las funciones. Comente y recuerde ser breve.

Parte ii.

Para el cálculo del límite de una función cuando x tiende a x_0, se hace necesario que la función esté definida en x_0. Comente y recuerde ser breve.

Parte iii.

El límite de una función cuando x tiende a x_0, existe si y solo si sus límites laterales también existen. Comente y recuerde ser breve.

Parte iv.

La propiedad de la suma y diferencia de límites pueden ser aplicadas solo una vez. Comente y recuerde ser breve.

PROBLEMA 1

Resuelva los siguientes límites justificando en base a las propiedades:

Parte i.

lim┬(x→2)⁡〖3x^4 〗

Parte ii.

lim┬(x→3)⁡〖x^3-〗 x^2+15

Parte iii.

lim┬(x→1)⁡∜(1/(x+15))

Parte iv.

lim┬(x→0)⁡〖((1+x)^2-1)/x〗

Parte v.

lim┬(x→0)⁡〖(1-〖cos〗^2 (x))/2x〗

PROBLEMA 2

Parte i.

Confirme la existencia del límite:

lim┬(x→0)⁡〖(x^2+x)/(|x|)〗

Parte ii.

Sea la función: f(x)={█(ax+1 ,&x<1@3+2a ,&x≥1)┤

Encuentre el valor de a de tal forma que lim┬(x→1)⁡〖f(x)〗, exista.

PROBLEMA 3

Encuentre los valores de los siguientes límites en el infinito:

Parte i.

lim┬(x→∞)⁡〖(9^x+8^x+1)/(9^x+3^x )〗

Parte ii.

lim┬(x→∞)⁡〖1/(x^4+x^3-6x)〗 Fundamente con las propiedades vistas

Parte iii.

lim┬(x→0)⁡〖〖(1+3kx^2)〗^(1/x^2 ) 〗 con k∈R constante cualquiera

PROBLEMA 4

El costo (en pesos) de eliminar x% de la polución del agua en cierto rio está dado por:

C(x)=75000x/(100-x),para 0≤x<100.

Parte i.

Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución

Parte ii.

¿Qué porcentaje de la polución puede eliminarse con 20000 pesos.

Parte iii.

Evaluar e interpretar el resultado del lim┬(x→100)⁡〖C(x)〗

PROBLEMA PROPUESTO

Un depósito a plazo en una economía poco sensata renta un 100/n% de interés compuesto anual, donde n es la cantidad de años por los que se efectúa el depósito. En el fin de los tiempos, ¿cuánto habrá rentado un inversionista que deposita 100 unidades monetarias?

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