Caso de cafe con modelo de Markov

Caso 01 : Modelo de Markov

Un equipo de investigadores en marzo 2022 en el mercado de una ciudad Colombiana aplicaron una encuesta a 8450 personas que compran café, para conocer la evolución en la evolución de preferencias por parte de los consumidores por las tres marcas de café: A, B y C, obteniendo los resultados que se reportan en la tabla siguiente:

[pic 1]

Con los resultados de la encuesta se busca obtener lo siguiente:

1. Si las compras se hacen mensualmente. ¿cuál será la distribución del mercado de café en el mercado de ciudad colombiana en el mes de junio del 2022?
2. A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café?
3. En junio 2022, ¿cuál será la proporción de clientes leales a sus marcas de café?

Solución del caso utilizando el modelo de Markov.

Con los datos presentados en la tabla de líneas arriba, se obtiene la matriz de probabilidades de transición de estados.

[pic 2]

1. Las compras se hacen mensualmente. Se pretende saber cuánto será la distribución de café en el mercado en el mes de junio.

La encuesta se hizo en el mes de marzo y hasta el mes de junio han transcurrido 4 meses. Se tiene información que las compras se hacen mensualmente, por tanto, se asumen que los cambios de estado se producen mensualmente, en el caso el número de estados es de 4.

Para saber la matriz de estado al cabo de 4 meses (junio), para lo que utilizamos el software QM for Windows, obteniendo:

[pic 3]

Ingresamos los datos de la matriz al software para obtener la resultante:

[pic 4]

Para luego aplicar a la plataforma, obteniendo:

[pic 5]

De donde se obtiene la matriz del cuarto estado, es decir al cabo del mes de junio.

[pic 6]

1. A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café?

Se procede a dar respuesta a la pregunta, teniendo en cuenta el Teorema siguiente:

[pic 7]

• De donde para el caso la ecuación es el siguiente:
• [pic 8]

De donde:

X = 0.3X + 0.2Y + 0.25Z

Y = 0.5X + 0.6Y + 0.25Z

Z = 0.2X + 0.2Y + 0.5Z

A partir de la identidad se obtienen las ecuaciones lineales siguientes:

-0.7X + 0.2Y + 0.25Z = 0     Ecuación 1

0.5X – 0.4Y + 0.25Z =  0     Ecuación 2

0.2X + 0.2Y – 0.5Z   =  0      Ecuación 3

X + Y + Z = 1                        Ecuación 4

Se puede resolver mediante el sistema de ecuaciones simultáneas, las que resolvemos con el soporte de Matrix Calculator de Windows.

[pic 9]

Luego por  se resuelve seleccionando la opción de Gauss Jordan:

[pic 10]

Obteniendo el resultado buscado:

Asumiendo : X1 =X, X2= Y,  X3 = Z.

[pic 11]

1. En junio 2022, ¿cuál será la proporción de clientes leales a sus marcas de café?

En marzo las proporciones de clientes han sido:

A = 2028/8450 = 0.24

B = 3718/8450 = 0.44

C = 2704/8450 = 0.32

De donde, para dar respuesta a la pregunta, es necesario multiplicar las matrices del estado inicial de marzo con la matriz de transición, tal como se presente a continuación:

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