Determinación de las curvas de costos

Pregunta 5

I Parte. Determinación de las curvas de costos

A fin de hallar el costo marginal (), el costo medio () y el costo variable medio (); empleamos la función de costo total ()[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

1) Costo marginal

Primero calculamos , el cual corresponde a  o [pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

2) Costo medio

Luego, encontramos el . Para ello, sabemos que[pic 10]

[pic 11]

Por lo cual, calculamos

[pic 12]

Obteniendo como resultado

[pic 13]

3) Costo variable medio

Finalmente, determinamos . Para tal fin, empleamos la formula [pic 14]

[pic 15]

Ahora bien, sabemos que

[pic 16]

Como en nuestro ejercicio entonces . Así, resolvemos[pic 17][pic 18]

[pic 19]

Concluyendo que

[pic 20]

II Parte. Cálculos para graficar las curvas

Es necesario hallar determinados puntos para graficar correcta y rigurosamente las curvas, a saber, los puntos de intersección de las funciones y sus mínimos.

Ahora bien, en el caso del costo marginal y el coste variable medio, se intersecan tanto en el origen como en el mínimo del , de modo que con calcular sus puntos de intersección obtendríamos todo lo que nos interesa del segundo y sólo restaría el mínimo del . Para calcular este último punto, seguiremos el correspondiente procedimiento del cálculo diferencial. En cuanto al , tiene comportamiento asintótico en el origen, por lo que interesa su mínimo que coincide con su intersección con el costo marginal. De modo que el punto se obtiene tanto calculando la intersección como su primer derivada; la ecuación por resolver es exactamente igual, la diferencia estriba en que el segundo procedimiento es más directo.[pic 21][pic 22][pic 23]

En nuestro caso, a efectos demostrativo y pedagógico, calcularemos todas las ordenadas en el origen así como los puntos de intersección de  con  y comprobaremos el mínimo de este último.[pic 24][pic 25]

1. Ordenadas en el origen

Para averiguarlas, realizamos la sustitución  en cada una de las curvas.[pic 26]

[pic 27]

 se indefine[pic 28]

[pic 29]

Vemos que -tal como se adelantó-  y  parten de la misma ordenada, mientras que  tiende a infinito en el origen.[pic 30][pic 31][pic 32]

2. Puntos de intersección  y mínimo de la función de costos variables medios[pic 33]

Comenzamos con la intersección  (de la cual ya tenemos una solución)[pic 34]

 [pic 35][pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Averiguando las ordenadas en el origen dimos con la primera solución, ahora obtuvimos el segundo punto de intersección. Así, sustituyendo , tenemos que[pic 40]

[pic 41]

Comprobamos el mínimo de , resolviendo  o [pic 42][pic 43][pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Y ya vimos que si , entonces .[pic 47][pic 48]

3. Mínimo de la función de costo medio

Determinamos el mínimo resolviendo  o [pic 49][pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

Detallar la resolución de esta ecuación puede complicar el cálculo, no obstante su solución es fácilmente asequible mediante la calculadora. Se usa el “MODE 5, 4” y se obtiene (para el primer cuadrante del plano cartesiano)

[pic 53]

Ahora sustituimos el resultado en la función de costo medio

[pic 54]

Resta tan sólo el mínimo del costo marginal para graficar.

4. Mínimo de la función de costo marginal

Procedemos a resolver  o [pic 55][pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Finalmente, sustituimos  para averiguar la ordenada.[pic 59]

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