Función cúbica La función cúbica es aquella que queda definida por una expresión polinómica de tercer grado

Función cúbica

La función cúbica es aquella que queda definida por una expresión polinómica de tercer grado.

La forma general de expresar la función cúbica es:

             f: R→R tal que f(x) = a x3 + b x2 + c x+ d  con  a, b, c, d ∈R  y  a ≠ 0

En la función cúbica siempre   Dom(f) = R   e   Im(f) = R

La función cúbica más simple es f(x) = x3  donde a= 1 y    b= c = d = 0. Su gráfica  servirá como base para trazar la gráfica de cualquier función cúbica.

Para representar gráficamente a  y = f(x) = x3  haremos la tabla de valores:

[pic 1] 

Esta curva se llama parábola cúbica básica.

Dom(f) = R    y   Im(f) = R  y vértice V= (0, 0)

Una propiedad importante de esta parábola es que es simétrica respecto del origen de coordenadas y por lo tanto es una función impar es decir que f(x) = -f(-x).

En efecto:    -f(-x) = -(-x)3 = -(-x3) =  x3 = f(x)

Crece en todo su dominio, es decir que para todo x1, x2 ∈ R si x1 < x2→ f(x1) < f(x2).

  En efecto: si   x1 < x2  →  x13 < x23  → f(x1) < f(x2).

Forma polinómica y canónica de una función cúbica: La función cúbica cuya forma polinómica  es f(x) = a x3 + b x2 + c x+ d  con  a, b, c, d ∈R  y  a ≠ 0   puede expresarse  en  forma canónica de la siguiente manera:   f(x) = a(x – h )3 + k  con  a, h, k ∈R

Veremos ahora que sucede con el gráfico de una función cúbica f(x) = a(x – h )3 + k al variar los parámetro a, h y k.

1. Supongamos que h = k = 0, es decir que la función queda expresada por f(x) = a x3 y asignemos distintos valores al parámetro a 

Veamos que pasa si tomamos   a > 0

Si a= 1 → y = x3 (1)

Si a= 2 → y = 2x3 (2)

Si a= 3 → y = 3x3 (3)

Si a= 1/2 → y = 1/2x3 (4)

[pic 2]

En todos estos casos se observa que:

• Dom(f) = R  ;  Im(f) = R  ;  V = (0, 0).
• Si a>0 entonces la función crece en todo su dominio.
• Es simétrica respecto del origen de coordenadas por lo tanto es impar

Veamos en general que pasa cuando a<0

Si a= -1 → y = -x3    (1)

Si a= -2 → y = -2x3 (2)

Si a= -3 → y = -3x3 (3)

Si a= -1/4 → y = -1/4x3(4)

[pic 3]

En todos estos casos se observa que:

• Dom(f) = R  ;  Im(f) = R  ;  V = (0, 0)
• Si a<0 entonces la función decrece en todo su dominio
• Es simétrica respecto del origen de coordenadas por lo tanto es impar

II) Supongamos ahora que a = 1 y h = 0  y entonces la función f(x) = a(x-h)2 + k  toma la forma  y = f(x) = x3 + k   con k[pic 4]. Asignando distintos valores a k y observemos que ocurre con sus gráficos y elementos:

Si k = 0 → y = x3 → [pic 5]  (1)

Si k = 1 → y = x3 +1 → [pic 6]  (2)

Si k = 2 → y = x3 +2 → [pic 7]  (3)

Si k = -1 → y = x3 -1 → [pic 8]  (4)        

[pic 9]

En general, en todos estos casos se observa que:

• Dom(f) = R ,  Im(f) = R
• V = (0, k)
• Si k > 0 la parábola se desplaza k unidades hacia arriba
• Si k < 0 la parábola se desplaza k unidades hacia abajo

La función y = x3 + k con k[pic 10] muestra una  traslación sobre el eje y  con respecto a la función y = x3.

III) Supongamos ahora que a = 1 y k = 0  y entonces la función f(x) = a(x-h)3 + k  toma la forma  y = (x – h)3   con h[pic 11]. Asignemos distintos valores a h  y observemos que ocurre con sus gráficos y elementos:

...