Limites.

Límite

Tal vez has estado en un estacionamiento en el que debe “aproximarse” al carro de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y está involucrada en el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo. Básicamente haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función.

límites son un instrumento del cálculo que nos permiten determinar el comportamiento de ciertas funciones económicas y administrativas (demanda, oferta, costos, etc.) cuando estas toman ciertos valores. Los límites serán particularmente útiles en el caso de que haya funciones en que al reemplazar la incógnita con cierta cantidad obtengamos un x/0. Algo no lógico, pero que con el uso de límites podremos resolver obteniendo el resultado límite cuando la variable se aproxima a la cantidad con la que obtuvimos inicialmente dicho valor absurdo.

limx⟶cf(x)=L

En economía, y ciencias administrativas afines, un límite nos sirve para dar una valoración de una tendencia económica.

Existen varias maneras de encontrar un límite, sea calculando los valores de la función, haciendo el bosquejo de su gráfica o empleando las propiedades de los límites; también, en ciertos casos deberemos usar la racionalización, y otros artificios matemáticos. Ilustremos esto con un ejemplo:

EJERCICIO 1

Encuentre el límite de: limx⟶2x2-x-2x-2

a) Calculando los valores de la función:

x | 1.99 | 1.999 | 2 | 2.001 | 2.01 |

f(x) | 2.99 | 2.999 | 3 | 3.001 | 3.01 |

b) Esbozando la gráfica:

(2,3)

c) Empleando las propiedades de los límites:

limx⟶2x2-x-2x-2=limx⟶2x-2(x+1)(x-2)=limx⟶2x+1=limx⟶2x+limx⟶21=2+1=3

Como hemos podido evidenciar, existen varias maneras para encontrar un límite.

Ahora, una vez revisados los contenidos necesarios para nuestro estudio, podemos centrarnos en el tema propuesto.

Los límites son particularmente importantes en la Economía, la Administración, y demás ciencias afines, porque nos permiten determinar el comportamiento de ciertas funciones propias de estas ciencias (como la oferta, demanda, costos, ingresos, etc.) cuando estas toman ciertos valores peculiares. Para entender mejor esto consideremos el siguiente caso:

EJERCICIO 2:

Un productor de ropa deportiva determina que dada la capacidad productiva de su planta, podrá obtener mensualmente I ingresos (en miles de dólares) en función de la cantidad de prendas producidas x (en cientos de unidades). Dicha función está dada por: Ix=x2-x-6x-3

Determine los ingresos cuando la producción sea de 300 unidades (x=3).

A primera vista en este ejercicio pareciera sencillo determinar los ingresos que el productor recibirá, únicamente sustituyendo x por 3; pero fijémonos lo que pasa cuando hacemos eso:

I3=9-3-63-3=00 Indeterminación

Es aquí cuando entran en escena los límites; pues en base a lo obtenido interpretamos que cuando la producción es de 300 unidades la capacidad productiva de la planta habrá sido rebasada. Esto es lo que se debe hacer:

limx⟶3x2-x-6x-3=limx⟶3x-3(x+2)x-3=limx⟶3x+2=limx⟶3x+limx⟶32=3+2=5

Entonces obtenemos la respuesta de que cuando la producción tiende a 300 unidades, el ingreso que percibirá el productor será de 5000 dólares.

Como hemos podido verificar, los límites nos sirven para dar una valoración de una tendencia económica. Veamos otro ejemplo relacionado a la economía ambiental:

EJERCICIO 3

El costo C (en cientos de dólares) de eliminar x% de

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