Limites

INTRODUCCION

Este encuadernado fue elaborado con el proposito dar una explicacion acerca del concepto de limite mas entendible o de facil comprension. En este libro te muestra las definiciones de algunos terminos en cuanto al tema de limites mas claros y con ejemplos sencillos para los que estan empezando a familiarizarse con el tema.

Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

INDICE

1.1.-INTRODUCCION A LIMITES……………………….….4

SIGNIFICADO INTUITIVO DE LIMITE……………….……..……6

LIMITES LATERALES…………………….………..……………..7

TEOREMA………………………………………….………………7

LIMITES UNILATERALES………………………….………........8

1.2.-ESTUDIO RIGUROSO DE LIMITES…..……………...10

PRESISANDO LA DEFINICION…………………………………11

SIGNIFICADO PRECISO DE LIMITE…………………………...13

1.3.-TEOREMA DE LOS LIMITES…………………………14

TEOREMA1.- TEOREMA PRINCIPAL DE LOS LIMITES…....14

TEOREMA2.- TEOREMA DE SOSTITUCION…………………16

TEOREMA3……………………………………………………….17

TEOREMA4.- TEOREMA DEL EMPAREDADO………………18

1.4.-LIMITES QUE INVOLOCRAN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS…………………………………….…19

TEOREMA1.- LIMITE DE FUNCIONES TRIGONOMETRICA…19

TEOREMA2.-LIMITES TRIGONOMETRICOS ESPACIALES…20

1.5.-LIMITES AL INFINITO………………………...............24

LIMITE CUANDO X→∞……………………………………….....25

LIMITECUANDO X→-∞………………………………………...25

LIMITES INFINITOS……………………………………………...27

RELACIONES DE ASINTOTAS…………………………………28

1.6.-CONTINUIDAD DE FUNCIONES……………...……...29

CONTINUIDAD EN UN PUNTO……………………………….....30

TOREMA1…………………………………………………………..31

TEOREMA 2………………………………………………………31

TEOREMA 3………………………………………………………31

1.1.-INTRODUCCION A LÍMITES

Limite es la parte mas importante de calculo se podría decir que calculo es el estudio de los limites. El concepto de limite es una parte esencial para muchos problemas de física, ingeniería, y ciencias sociales, con el podemos adentrarnos a temas como la derivada y la integral, el concepto de limite es complicado y necesita de un gran esfuerzo para su total comprensión.

A continuación le presentamos el siguiente ejemplo:

F(x)=

Al tabular los valores de x y f(x) nos damos cuenta que al sustituir x=1 nos resulta f(x)=0/0

x F(x)

1.250 3.813

1.100 3.310

1.010 3.030

1.001 3.003

1.000 ?

0.999 2.997

0.990 2.970

0.900 2.710

0.750 2.313

Si tomamos en cuenta los valores mayores y menores de 1 considerando la tabla nos damos cuenta que f(x) se aproxima a 3 cuando x toma los valores que se aproximan a 1. Esta oración se denota por:

= = 3

Esto se lee “ El limite de ( )/( ) cuando x tiende a 1es igual a 3”. Para calcular el límite de una función se utiliza el siguiente método:

Se factoriza la función:

(x-1)(x[2+x+1)

x-1

Se eliminan los iguales:

(x-1)(x[2+x+1)

x-1

Y se sostituye:

x[2+x+1

1[2+1+1=3

En general calcular el límite de una función , cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.

En ocasiones, nos podemos encontrar con casos en que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite. Esta situación, suele suceder, cuando el límite lo queremos calcular cuando x o f(x) tiende a infinito o es indeterminada. Cuando una función no esta definida es porque al intentar calcular ese punto nos resulta:

En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, en las aproximaciones de dicho punto.

SIGNIFICADO INTUITIVO DE LIMITE

Decir que significa que cuando x esta cerca pero diferente de c, entonces f(x) esta cerca de 1

Podemos observar que la función f(x) no esta definida en c, o sea x=c. El concepto de limite se podría decir que es el comportamiento de una función cuando x se acerca a c pero que no esta en c o sea el valor que se acerca o esta cerca de la función cuando x se acerca a c.

A continuación te presentamos el siguiente ejemplo:

x[2-x-6

x-3

observamos que x=3 no esta definida en esta función podríamos evaluar los valores de x cuando x se aproxima a 3 como por ejemplo los valores menores a 3 (2.900, 2.900, 2.999) y mayores (3.001, 3.010, 3.100), pero seria mejor calcularlo con el método que vimos anteriormente.

x[2-x-6 (x-3)(x+2) (x+2)=3+2=5

x-3 x-3

La eliminación de x-3 es valida porque la definición de limite desconoce el comportamiento en x=3. Recuerde que:

x-3 =1

x-3

Siempre que x no sea igual a 3

LIMITES LATERALES

Decir que significa que cuando x esta cerca pero a la derecha de c, entonces f(x) esta cerca de L. Y decir que significa que cuando x esta cerca pero a la izquierda de c, entonces f(x) esta cerca de L.

Quiere decir que x se aproxima a c por la derecha

Quiere de cir que x se aproxima a c por la izquierda

TEOREMA

Si y solo si y

Es decir que el limite de la función f(x) cuando x se aproxima por la derecha es igual al limite de la función f(x) si no se diría que no existe

LIMITES UNILATERALES

A continuación te presentamos el siguiente ejemplo:

F(x)= 1-x

Cuya grafica es f(x) 2

x

-3 1

El limite de f(x) cuando x se aproxima por la izquierda ac es igual a o

El limite de f(x) cuando x se aproxima apor la derecha a c no existe

Al evaluar la función F(x)= 1-x para los valores cercnos a x=1 tenemos:

Y 0.50 0.80 0.90 0.99 1 1.01 1.10 1.20 1.30

F(x) 0.70 0.44 0.31 0.10 ? No existe No existe No existe No existe

Esto se escribiría lim = 1-x no existe, porque para los valores cercanos a x=1 f(x) no se aproxima a un valor determinado

Pero si tomamos en cuéntalos valores cercanos de x a 1 los menores y no los mayores nos damos cuenta que f(x) se aproxima a 0

Tomamos por ejemplo la siguiente función :

F(x)= x-2

Cuya grafica es f(x)

1

x

2

Al evaluar la función f(x) para los valores cercanos a x=2 tenemos que:

Y 1.50 1.80 1.90 1.99 2 2.01 2.10 2.20 2.30

F(x) No existe No existe No existe No existe ? 0.10 0.31 0.44 0.70

Esto quiere decir que para la función f(x) = x-2 , f(x) no existe si x<2 por lo que

lim x-2 no existe

Si tomamos en cuenta los valores de x cercanos a 2 pero no menores que 2, nos damos cuenta que f(x) se aproxima a 0

Esto quiere decir que f(x) se aproxima a 0 cuando x se aproxima a 2 por la izquierda

lim x-2 = 0

1.2 ESTUDIO RIGUROSO DE LIMITES

A continuación damos otra ligeramente mejor pero todavía informal de la definición de limite. Cuando decimos que significa que f(x) puede estar tan cerca como quiera a L siempre que x sea cercana a c pero no igual a c.

Ejemplo y=f(x)=3x[2 para determinar que tan cercana debe estar x de 2 para garantizar que f(x) este a menos de 0.05 de 12

Para resolverlo le sumamos y le restamos a 12 0.05 y nos daría a 11.95 en caso de la resta y 12.05 en caso de la suma entonces si queremos que f(x) este a no menos de 0.05 de 12 entonces esto se escribiría 11.95<f(x)<12.05 si tenemos que la f(x)=3x[2, obtendremos 11.95<3x[2<12.05 si despejamos x obtendremos que x= y/3 por lo tanto f( 11.95/3) y

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