LIMITES
xDcrazyxDDocumentos de Investigación24 de Agosto de 2015
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UNIVERSIDAD LIBRE – SECCIONAL CALI[pic 1]
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO DIFERENCIAL
GUÍA DE TRABAJO No 3
TEMA: LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINIRO
Profesores: Walter G. Magaña S. y Carlos Julio González N.
LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO
Objetivo: Determinar límites de funciones que cuando tienden a un punto se hacen infinitamente grades y determinar las asíntotas verticales. |
Introducción.
Sea f la función cuyo gráfico se muestra en la figura 1. Cuando x se acerca 0 por la derecha, f(x) se hace cada vez más grande sin límite y, por consiguiente, a ningún valor fijo. Así, [pic 2] no existe. En este caso, se puede escribir [pic 3] lo que indica que el límite no existe porque f(x) está aumentando sin límite. | [pic 4] Figura 1 |
Cuando x se acerca 0 por la izquierda, f(x) se hace cada vez más y más negativa sin límite y, por consiguiente, a ningún valor fijo. Así, [pic 5] no existe. En este caso, se puede escribir
[pic 6]
para indicar que el límite no existe porque f(x) decrece sin límite.
Ejemplo Introductorio. Se considera la función [pic 7], hallar los siguientes límites: (a) [pic 8], (b) [pic 9] y (c) [pic 10].
Solución:
(a) La gráfica de la función corresponde a la figura 1. Es evidente por algunos cálculos simples que ninguno de estos límites existe. Cuando x se aproxima a 0 por la derecha, los valores de 1/x se hacen más y más grandes sin límite, como se observa en la siguiente tabla:
x | 1 | 0.1 | 0.01 | 0.001 | 0.0001 |
[pic 11] | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
Así, [pic 12].
(b) Cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, los valores de 1/x decrecen (esto es, se hacen más y más negativos) sin límite, como se observa en la siguiente tabla:
x | – 1 | – 0.1 | – 0.01 | – 0.001 | – 0.0001 |
[pic 13] | – 1 | – 10 | – 100 | – 1000 | – 10000 |
Así, [pic 14].
(c) Por lo anterior se sigue que [pic 15] no existe.
DEFINICIÓN. Definición de valores de una función que crecen sin límite. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el número c, excepto, posiblemente, en c mismo. Conforme x se aproxima a c, f(x) crece sin límite, lo que se escribe como [pic 16] (1) significa que para cualquier número M > 0 existe un número correspondiente δ > 0 tal que si [pic 17] entonces [pic 18] |
La expresión (1) puede leerse “el límite de f(x) cuando x tiende a c es infinito positivo (o más infinito)”. Esto significa que el valor de f(x) se puede aumentar arbitrariamente, sin límite (mayor que cualquier número dado M), si x se acerca lo suficiente a un número c, pero sin considerar a c (dentro de una distancia δ, donde δ depende de M). En la figura 2 se puede ver una interpretación geométrica. | [pic 19][pic 20] Figura 2 |
Dada cualquier recta horizontal, y = M, se puede definir un número δ > 0 tal que si se restringe x a valores que estén en el intervalo (c – δ, c + δ), entonces la curva y = f(x) queda arriba de la recta y = M. Se puede ver que si se elige un valor de M mayor, se necesitará un valor de δ menor.
Se dice que en x = 2 se tiene una asíntota vertical.
Ejemplo Ilustrativo. Utilizando la definición demostrar que [pic 21] (Ver figura 2).
Solución:
1. Búsqueda de un valor de δ. Dado M > 0, se desea definir un valor δ > 0 tal que
si [pic 22] entonces [pic 23]
⇒ si [pic 24] entonces [pic 25]
⇒ si [pic 26] entonces [pic 27]
⇒ si [pic 28] entonces [pic 29]
Esto sugiere que se debe definir [pic 30].
2. Comprobación de que el valor de δ es el adecuado. Si se da M > 0, entonces sea [pic 31], tal que
Si [pic 32] entonces
[pic 33] ⇒ [pic 34] ⇒ [pic 35]
Por lo tanto,
si [pic 36] entonces [pic 37]
En consecuencia, de acuerdo con la definición [pic 38].
De manera análoga se puede indicar el comportamiento de una función cuyos valores decrecen sin límite. Para esto se considera la siguiente definición.
DEFINICIÓN. Definición de valores de una función que decrecen sin límite. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el número c, excepto, posiblemente, en c mismo. Conforme x se aproxima a c, f(x) decrece sin límite, lo que se escribe como [pic 39] (2) significa que para cada número negativo N, existe un número δ > 0 tal que si [pic 40] entonces [pic 41] |
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