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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «anti derivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.

Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

REGLA DE L’HÔPITAL

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.

La regla de L’Hôpital enuncia que:

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,

lim┬(x→c)⁡〖(f(x))/(g(x))=〗 lim┬(x→c)⁡〖(f'(x))/(g'(x))=〗 L

La regla de L’Hôpital también se puede aplicar si x→∞

La regla de L’Hôpital además de resolver indeterminaciones del tipo 0/0 también se puede aplicar para resolver indeterminaciones del tipo (±∞)/(±∞).

Si al calcular lim┬(x→x_0 )⁡〖(f'(x))/(g'(x))〗 nos volvemos a encontrar en las condiciones establecidas por esta regla se puede volver aplicar de nuevo, y así sucesivamente las veces que sean oportunas para la consecución del límite buscado.

Ejemplos de la aplicación de la regla de L’Hôpital:

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas.

La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales (f(x))/(g(x)) , al aplicar la regla se obtendrá: (f'(x))/(g'(x))

Aplicación sencilla:

lim┬(x→0)⁡〖sin⁡(x)/x〗= 0/0 → L^' Hôpital→ lim┬(x→0)⁡〖cos⁡(x)/1〗=1/1=1

lim┬(x→+∞)⁡〖e^x/〖3x〗^2 〗= (+∞)/(+∞) → L^' Hôpital→ lim┬(x→+∞)⁡〖e^x/6x〗= (+∞)/(+∞)= lim┬(x→+∞)⁡〖e^x/6〗=+∞

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

lim┬(x→0)⁡〖(e^x- e^(-x)-2x)/(x-sin⁡〖(x)〗 )〗

L'Hôpital→ 〖 lim〗┬(x→0)⁡〖(e^x-(〖-e〗^(-x) )-2)/(1-cos⁡(x))〗

L^' Hôpital→ lim┬(x→0)⁡〖(e^x-e^(-x))/(sin⁡(x))〗

L^' Hôpital→ lim┬(x→0)⁡〖(e^x-(〖-e〗^(-x)))/(cos⁡(x))〗=(e^0+e^(-0))/(cos⁡(0))= (1+1)/1=2

Ahora bien, dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo 0/0 mediante transformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

lim┬(x→∞)⁡〖x^4/x〗=lim┬(x→∞)⁡〖(1/x)/(1/x^4 )〗

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital

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