Trabajo IDISTRIBUCIONES CONTINUAS USADAS EN INFERENCIA ESTADÍSTICA:

[pic 1]

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONÓMICAS

Periodo Académico 2018-1

ESTADÍSTICA APLICADA I

GUÍA DE PROBLEMAS 1

DISTRIBUCIONES CONTINUAS USADAS EN INFERENCIA ESTADÍSTICA:

(NORMAL, T DE STUDENT, CHI-CUADRADA, F DE FISHER,

RELACIONES Y PROPIEDADES)

TÉCNICAS BÁSICAS DE MUESTREO

Coordinador del Curso:

 José Alberto Lara Mascaró

Este   material   de  apoyo académico

  se  hace  para uso  exclusivo  de  los  alumnos

  de la Universidad de Lima y en concordancia

 con lo dispuesto  por  la legislación  sobre

 los  derechos  de autor: Decreto Legislativo 822

Abril - julio  2018

DISTRIBUCIÓN  NORMAL, PROPIEDADES

1. Una fábrica de jugo de manzana emplea una máquina para envasarlo la cual está regulada para que llene automáticamente 25 onzas. No obstante la cantidad que llena en cada botella varía. Se observó que la cantidad de líquido que se vierte en cada botella se aproxima a una distribución normal con una media de 24.5 onzas y una varianza de 2.25 onzas2.

1. ¿Qué porcentaje de botellas de jugo de manzana contendrá más de 26 onzas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que una botella contenga entre 23.5 y 26 onzas?
3. ¿Cuál es el contenido máximo del 25% de botellas con menor contenido?

1. El ingreso familiar mensual en cierta zona de la ciudad es una variable aleatoria con distribución normal cuyo promedio es 1200 soles, se sabe además que el 20% de las familias en esa zona de la ciudad tienen un ingreso mensual superior a 1450 soles. El gobierno decide aplicar un programa de ayuda social orientado a todas las familiar cuyo ingreso familiar mensual sea inferior a 600 soles, si en esa zona de la ciudad residen 3480 familias ¿Aproximadamente cuantas familias se beneficiaran con dicha ayuda social?
2. El gasto mensual (en soles) por mantenimiento de un equipo es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media 250 soles; además el 85.083% de las veces este costo es a lo más 276 soles.

1. Hallar el valor de la varianza en este caso.                                                                              
2. Calcular la probabilidad que el gasto en un mes sea de a lo más 230 soles o por lo menos 260 soles
3. Si consideramos que los costos por mantenimiento al mes son independientes ¿Cuál será el máximo costo por mantenimiento en un año, el 97,5% de las veces?                  

1. Los sueldos mensuales  de los trabajadores de la empresa EXPORT S.A. se comportan de acuerdo a una distribución normal con promedio 3500 soles y una desviación estándar de 500 soles

1. ¿Cuál es la probabilidad que un trabajador elegido al azar tenga un sueldo de a lo más 3750 soles?
2. Al elegir un trabajador al azar este tiene un sueldo superior a los 2800 soles ¿Cuál es la probabilidad que tenga un sueldo de a lo más 3850 soles?                                                                                            
3. En la empresa GRANDA S.A. similar a la anteriormente mencionada, el sueldo mensual de los trabajadores tienen una distribución normal con promedio 3800 soles, una desviación estándar de σ soles, si el 84.13% de sus trabajadores tienen un sueldo mensual de a lo más 4200 soles. Calcule la desviación estándar de los sueldos mensuales de los trabajadores de esta segunda empresa                                                    

1. Se sabe que los ingresos semanales por ventas en las farmacias de un sector de Lima se distribuyen en forma normal y son independientes Se conoce que el 0.82% de estos establecimientos tiene ingresos superiores a 5800 soles y el 10.2% ingresos inferiores a 1200 soles. Si en este sector hay 950 farmacias, ¿cuántas de ellas tendrán ingresos semanales superiores a 3800 soles?  

1. En una investigación acerca del rendimiento escolar la Psicóloga a cargo tiene la siguiente información con respecto a los resultados obtenidos al aplicar una evaluación a los estudiantes de la escuela: el 30.85% de los estudiantes obtuvieron una calificación menor a 13, y el porcentaje de alumnos que tuvieron una calificación superior a 18 es del 2.28%, y se sabe además que estos resultados se aproximan a una distribución normal.

1. Calcular la media y la desviación estándar  de las calificaciones en esta evaluación.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga una calificación superior a 15?

1. Al evaluar a ciertos candidatos que pretenden laborar en un compañía, se obtuvieron los siguientes resultados en una prueba de aptitud: las calificaciones se distribuyeron normalmente con una media de 70 puntos y una desviación estándar de 10 puntos. Los candidatos con una calificación entre 61 y 79 puntos se clasifican en la categoría C. Se tiene un total de 24 candidatos con esta categoría.

1. ¿Cuántos candidatos fueron evaluados?
2. Luis Arias, uno de los candidatos evaluados obtuvo 92 puntos, ¿Pertenece Luis al quinto superior del grupo evaluado?

1. Al inspeccionar la calidad de un producto se ha determinado dos tareas claves, las cuales se realizan de manera independiente y una después de la otra. El tiempo que se emplea para la primera tarea es una variable aleatoria con distribución normal con μ = 10 minutos y σ = 1.5 minutos. Para la segunda tarea, se emplea un tiempo que también se comporta de acuerdo a un distribución normal con μ = 15 minutos y σ = 2 minutos

1. ¿Cuál es la probabilidad que en la inspección se emplee más de ½ hora?
2. ¿En qué tiempo máximo se concluirá la inspección con una probabilidad de 0.95?

1. Un producto, tiene un peso que se comporta como una variable aleatoria que se ajusta a una  distribución normal  cuyo  promedio es 250 gramos y una desviación estándar de 10 gramos, este producto, para su venta, es embalado en cajas que contienen 20 unidades cada caja. Asumiendo que el peso de los productos son  independientes

1. Calcular la probabilidad de que una caja llena tenga un peso de a lo más 5.5 kg.
2. Calcule el peso mínimo del 10% de las cajas más pesadas (considere que la caja contiene la 20 unidades de artículos)    

1. Una Compañía aseguradora de automóviles tiene 10000 asegurados. Si el gasto anual que un asegurado ocasiona a la compañía tiene como promedio 260 dólares  con una desviación típica de 800 dólares. Cuál es la probabilidad que el gasto total que la compañía debe afrontar en un año sobrepase los 2.8 millones de dólares (2 800 000 dólares)

1. Con cierto modelo de impresora  el tiempo que se tarda en imprimir una fotografía es una variable aleatoria cuyo promedio es 17 segundo y una desviación estándar de  0.8 segundos, para determinado trabajo se requieren imprimir 100 fotografías, ¿cuál es la probabilidad de que:

1. Se requieran más de 7200 segundos?
2. Se requieran entre 1690 y 1710csegundos?
3. ¿Cuál es el sustento teórico utilizado para responder las preguntas a y b?

1. Los servicios de mantenimiento de una autopista disponen de una cantidad de sal para afrontar un total de 80 pulgadas de nieve. Supongamos que la cantidad de nieve que cae diariamente tiene un promedio de 1.5 pulgadas y una desviación estándar de 0.3 pulgadas. Aproxime la probabilidad de que la sal disponible sea suficiente para hacer frente a las nevadas de los próximos 50 días. Indique el sustento

DISTRIBUCIONES: CHI-CUADRADO, T DE STUDENT, F DE FISHER, PROPIEDADES Y RELACIONES

1. Si X es una variable aleatoria con Distribución Chi-Cuadrado de 17 grados de libertad. Calcular:

1. P(X < 7.59)
2. P(X > 27.59)
3. P(6.408 ≤ X ≤ 27.59)
4. El valor de c tal que P(X > c) = 0.01
5. Aspectos teóricos: Sea  X una variable continua tal que X ~ [pic 2]

1. ¿La gráfica de su distribución es simétrica?
2. ¿Cuál es su media y varianza?
3. ¿La variable puede tomar valores negativos?

1. Si X ~  hallar los valores de a y b, tal que:[pic 3]

P(a < X < b) = 0,88, si se tiene que P(X > b) = 0,02

1. Las variables aleatorias U y V se distribuyen como una Chi-cuadrado con m grados de libertad y una T-Student con n grados de libertad, respectivamente. Calcular:

1. Los valores de a para los que P( U > a)=0,05 cuando m toma los valores 9 y 25
2. P(U < 22,37) con m = 13
3. Los valores de b para que P(V > b) = 0,05 con n = 20 y n = 40

1. Si X es una variable aleatoria que tiene distribución F con m y n grados de libertad. Hallar:

1. P(X < 14,66), si m = 9 y n = 4.
2. P(X > 7,36), si m = 5 y n = 3.
3. P(X < 3,54), si m = 6 y n = 9.
4. Los valores de a y b tales que P(a < X < b) = 0,90 y P(X < b) = 0,95, siendo m = 8 y n= 6
5. Aspectos teóricos: Sea  X una variable continua tal que X ~ F(a, b)

1. ¿La gráfica de su distribución es simétrica?
2. ¿Cuál es su media y varianza?
3. ¿La variable puede tomar valores negativos?

1. Sea X ~ N(0,16),   Y ~ N(15,16),   Z ~ N(0,1),   U ~ ,   V ~ [pic 4][pic 5]

1. [pic 6]
2. [pic 7]
3. [pic 8]
4. [pic 9]
5. [pic 10]
6. [pic 11]
7. [pic 12]
8. [pic 13]
9. [pic 14]
10. [pic 15]
11. [pic 16]
12.    [pic 17]

1. Sean las siguientes variables:   X ~ N(50, 64),   Y ~ t(15), W ~ ,  entonces responda lo siguiente:[pic 18]

1. Hallar el valor de c tal que: [pic 19]

1. Calcular : [pic 20]
2. Hallar el valor de b tal que: [pic 21]
3. Hallar el valor de k tal que: [pic 22]

1. Sean  X1, X2 , X3  y X4 variables aleatorias independientes  cada una con distribución normal estándar, calcular las siguientes probabilidades:

1. [pic 23], si se sabe que [pic 24]
2. [pic 25],  si se tiene que [pic 26]

1. Sean las variables aleatorias independientes: X ~ ,   Y ~ t(20),   W ~ ,   calcule lo siguiente:[pic 27][pic 28]

1. Los valores de c y k tal que:  P(c < X < k) = 0,94  si P(X > k) = 0,015
2. [pic 29]
3. El valor de h de modo que: P(h < X + W < 34,3816) = 0,65.
4. [pic 30]

Observaciones:

1. Una variable normal, elevada al cuadrado sólo puede ser transformada a una variable Ji-cuadrado.
2. Un cociente entre variables Chi-Cuadrado sólo puede transformarse a una variable F de Fisher.
3. Un cociente de dos variable (con denominador radical) puede transformarse a una variable t-Student
4. No siempre se puede elevar al cuadrado o sacar la raíz cuadrada en una transformación.

TÉCNICAS BÁSICAS DE MUESTREO

1. Identifique cada uno de los siguientes métodos de muestreo:

1. En la ciudad de Lima los ejecutivos se dividieron en tres grupos: Bancarios, Industriales y de Seguros. Se tomaron muestras de cada uno de estos grupos y se ponderaron los resultados muéstrales de acuerdo con el número en el grupo, en relación con el total.

1. Un distrito extenso se subdividió en 20 áreas, se seleccionaron al azar  6 de éstas áreas se seleccionaron y posteriormente de cada área se seleccionan aleatoriamente 3 manzanas para ser entrevistados sus residentes.
2. Los auditores pueden seleccionar cada vigésimo expediente empezando por ejemplo con el tercero en el primer archivo; después se auditan los expedientes número 13, 23, 33, 43   etc.

1. La universidad privada “Mi Perú” tiene actualmente 3000 alumnos, en pregrado, distribuidos en las 5 carreras que ofrece, de las distintas del área del desarrollo profesional,  las cuales son: C1, C2, C3, C4 y C5. Las 5 carreras tienen a los alumnos repartidos del siguiente modo: la carrera C2 tiene la mitad del alumnado de la carrera C1 y entre las dos carreras se tiene al 30% del alumnado total; las carreras 3, 4 y 5 tienen respectivamente 28%, 24% y 18% del total del alumnado. Si se desea realizar un estudio con una muestra, de modo que esta sea representativa, se le pide: Explique el tipo de muestreo a utilizar y la cantidad de alumnos de cada carrera, en la muestra, si la muestra debe ser de 300 alumnos en total. Muestre su procedimiento

1. Suponga que se desea seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 1 de una población de 3 elementos (llamados A, B y C). La regla para obtener la muestra es: lanzar una moneda y si sale cara elegir el elemento A; si sale sello, lanzar otra vez la moneda, en esta ocasión si resulta cara se elige B, y si sale sello se escoge a C. Explique porque esta es una muestra aleatoria pero no una muestra aleatoria simple.

1. Se desea realizar un estudio para determinar indicadores socio-económicos de los trabajadores de la industria de la confección y para ello se clasificó a las empresas de este sector en tres grupos: un 10% de empresas son consideradas “grandes”, un 30% “medianas” y el 60% “pequeñas”. Dado que en Lima hay en total 5000 empresas de este tipo, usted decide realizar el estudio seleccionando una muestra de 400 empresas. El costo inicial del muestreo es de $600 y se paga $3.5 por cada empresa grande encuestada, $3 por cada empresa mediana y $2 por cada empresa pequeña. Si a usted se le ha asignado $1500 para el estudio, ¿es suficiente el dinero asignado?.

1. Basándose en los siguientes enunciados, señalar cuál de los siguientes incisos es verdadero (V) o falso (F)

1. La gerencia de marketing de una empresa de café desea estimar el número de tazas de café que consumen al día los residentes de Lima Metropolitana.
2. Un perito de seguridad de una compañía de seguros está interesado en estimar la proporción de vehículos asegurados en la compañía que no tienen un sistema de frenos apropiado.
3. La oficina de sanidad de un Municipio quiere estimar la proporción de bodegas que funcionan en un estado sanitario defectuoso.

1. El elemento en (B) es un vehículo con el sistema de frenos malogrado.
2. La población objetivo en (B) es el conjunto de vehículos asegurados en la cía.
3. La población objetivo en (C) está formada por las bodegas que funcionan en la jurisdicción del Municipio.
4. El instrumento de medición en (B) puede ser un cuestionario.
5. El instrumento de medición en (C) puede ser un cuestionario.
6. El instrumento de medición en (A) puede ser un cuestionario.
7. El marco muestral en (B) puede ser la cartera de clientes asegurados en la cía.
8. El marco muestral en (C) puede ser la relación de bodegas con lic. municipal.
9. La unidad de muestreo en (B) puede ser la póliza de seguro del vehículo.
10. La unidad de muestreo en (C) es una bodega con licencia municipal.

1. Un colegio tiene  2000 estudiantes, el 20% pertenecen al 5to superior y el resto no.  Además, 21% son del primer año, 25% del segundo, 24% del tercero, 16% del cuarto, y 14% del quinto.  Se ha planeado un muestreo con cuotas proporcionales. ¿Cómo debería seleccionarse una muestra de 200 alumnos, ?

1. En una encuesta socioeconómica en Lima se contempló una muestra de 50 asentamientos humanos correspondientes a 10 distritos previamente elegidos en forma aleatoria (5 asentamientos por cada distrito). En cada asentamiento humano seleccionado se eligió al azar un comedor popular y se realizó entrevistas personales a 5 madres de familia que hacen uso del servicio. Responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántas etapas de muestreo tiene el diseño?

i) 2           ii) 3         iii)) 4            iv) 5            

1. ¿Cuál es la unidad final de muestreo final?

1. El asentamiento humano.
2. El comedor popular.
3. La madre de familia.

1. Una empresa de estudio de mercado ésta interesada en determinar que tanto debe enfatizar la publicidad televisiva en una determinada comunidad; por lo cual decide realizar una encuesta por muestreo  para estimar el número promedio de horas por semana que los hogares de dicha comunidad ven la televisión. Al respecto, se sabe que: En la zona A, que tiene gran cantidad de niños en edad escolar existen, hay 150  hogares; la zona B, que consta de habitantes mayores edad con pocos niños en la casa, hay 90 hogares; y en la zona Rural tiene 60 hogares. Asimismo, que el costo por entrevista es de US$ 6,0 en la zona A; US$ 4,0 en la zona B y  de US$ 10,0 en la zona rural, además que el costo fijo del muestreo es de US$ 500,0. ¿Cuál será el costo total del muestreo, si la empresa decide que el tamaño de la muestra sea igual 250 entrevistas?

1. En cada uno de los siguientes casos identificar el método de  muestreo.

1. Con el fin de evitar riesgos y pérdidas la empresa BRAND dedicada a brindar diversos servicios en el ámbito de las telecomunicaciones, organiza a sus empleados en tres niveles: Nivel 1, conformado por gerentes y contadores. Nivel 2, conformado por jefes de oficinas técnicas. Nivel 3, conformado por personal administrativo y personal en general.  Se seleccionaron muestras aleatorias de cada uno de estos niveles y se ponderaron los resultados muestrales  de acuerdo con el número de empleados en cada nivel  en relación con el total de empleados.
2. La empresa  CPSA dedicada desde 1976 a la elaboración de hilados finos de algodón pima, altamente cotizadas en mercados internacionales, con el fin de evaluar la calidad de estos productos decidió seleccionar 5 lotes de la producción mensual de entre el total de lotes producidos y  evaluar los productos de los lotes seleccionados.

1. En cada uno de los siguientes enunciados indique Usted si es verdadero o falso, en caso de que sea falso indique  usted la afirmación correcta.

1. ¿Cuándo se realiza un muestreo Sistemático entonces todas las unidades de la población tienen, en todo momento, la misma probabilidad de ser seleccionados en la muestra.

1. La distribución F de Fisher se genera al realizar un cociente simple entre dos variables independientes con distribución chi-cuadrada.

1. Si Y es variable aleatoria con distribución T de Student con 10 grados de libertad, entonces el 20% de las observaciones de esta variable son mayores que 0.24

1. Cuando se divide una población en conglomerados, entonces se tiene que tomar una muestra aleatoria de cada uno de los conglomerados.

1. Si se tienen las siguiente variable aleatorias independientes X1, X2 ,…, Xn , con distribución desconocida, entonces la variable Y = X1 + X2 + … + Xn, siempre tiene una distribución normal.

PROBLEMAS VARIOS

1. El monto de los gastos por consumo semanal en alimentos de los trabajadores de los sectores Textil (U), Industria (V) y Minería (W) se distribuyen normalmente como sigue:

U ~ N(1400, 3202)   V ~ N(1800, 1802)   W ~ N(1200, 1202)

1. Si se elige aleatoriamente a un trabajador del sector textil, ¿Cuál es la probabilidad de que sus gastos semanales en alimentos sea superior a 1200 soles?
2. Si se eligen aleatoriamente a un trabajador de cada sector y se suman sus gastos en consumo de alimentos de una cierta semana,

1. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del total de sus gastos en dicha semana?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho gasto sea superior a 4000 soles?

1. Si en una semana cualquiera se toma una muestra aleatoria de 36 trabajadores del sector textil

1. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del gasto total por consumo en alimentos de todos ellos?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el total de sus gastos en alimentos de dicha muestra sea inferior a 50,000 soles?

1. Una ensambladora de televisores desea incursionar en el terreno de los televisores digitales. Según datos de otros fabricantes, se sabe que el tiempo promedio requerido en el ensamblaje de un televisor digital es de 60 minutos. Si el tiempo requerido para ensamblar un televisor digital es una variable con distribución normal,

1. Determine el porcentaje de veces en los cuales dicho tiempo está entre 60 y 70 horas.
2. Si para realizar una prueba de control de calidad se toma una muestra de 10 televisores digitales ensamblados, cuál es la probabilidad de que en no más de 2 de ellos el tiempo de ensamble sea superior a 60 minutos?

1. Sean las variables aleatorias independientes: U ~ N(50, 16);   V ~ ;   W ~ :[pic 31][pic 32]

1. Hallar [pic 33]
2. Hallar [pic 34]

1. Las operaciones financieras que realiza la compañía Google a nivel mundial se canalizan a través de 4 oficinas centrales que cubren los territorios de América del Norte, América Latina, Asia y Europa.  En el año 2008, la compañía Google reportó que sus utilidades anuales, en miles de millones de dólares, se ajustan a una distribución  normal  con los siguientes parámetros:

• Y1  : La utilidad anual de la oficina de América del Norte,  Y1 ~ N(800, 1002)
• Y2  : La utilidad anual de la oficina de América Latina,  Y2 ~ N(200, 1502)
• Y3  : La utilidad anual de la oficina de Asia,  Y3 ~ N(900, 2002)
• Y4  : La utilidad anual de la oficina de Europa,  Y4 ~ N(600, 1202)

1. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de la utilidad total del año 2008 de la compañía Google?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la utilidad total haya sobrepasado la cifra de 2 mil millones de dólares?

1. Se tiene las siguientes variables aleatorias independientes:

T ~ N(2,4),  X ~ N(0,16),   Y ~ N(15,16),   Z ~ N(0,1),   U ~ ,   V ~ [pic 35][pic 36]

Al respecto calcule lo siguiente

1. [pic 37]
2. [pic 38]
3. [pic 39]
4. El valor de a de tal modo que  P( T + X + Y > a ) = 0,95

1. Las siguientes variables aleatorias son independientes y tienen la distribución  de probabilidad   que se indica en cada caso respectivamente:

W ,   X,   Y    [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

1. Determinar  el valor de la constante “a” si:  [pic 44]
2. Determinar:  [pic 45]
3. Determinar:  [pic 46]
4. Determinar:  [pic 47] 

Fórmula de interés

...