UNIDAD 4 LINEAS DE ESPERA

INDICE

INTRODUCCION-----------------------------------------------------------------------------------------2

4.1 ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA.--------------9

4.1.1 UN SERVIDOR, UNA COLA.-----------------------------------------------------------------18

4.1.2 N SERVIDORES, UNA COLA.---------------------------------------------------------------21

4.1.3 N SERVIDORES, N COLAS.-----------------------------------------------------------------24

4.2 CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y EXPONENCIAL

PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE LÍNEAS DE

ESPERA.-------------------------------------------------------------------------------------------------24

4.3 APLICACIÓN DE MODELOS DE DECISIÓN EN LÍNEAS DE ESPERA.----------33

4.4 INFERENCIA DE RESULTADOS.------------------------------------------------------------34

CONCLUSION.----------------------------------------------------------------------------------------36

BIBLIOGRAFIA.---------------------------------------------------------------------------------------38

Unidad 4 LINEAS DE ESPERA

1 INTRODUCCION

Las "colas" son un aspecto de nuestra vida moderna que normalmente podemos encontrar en nuestras actividades diarias. Como ejemplos podríamos mencionar: el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., este fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. El estudio de las colas es de suma importancia ya que proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar indeterminado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas. La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Definiciones, características y suposiciones.

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Definición.

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

Costos de los sistemas de colas.

Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la instalación de servicio. Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola está vacía. De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas.

Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.

Costo de Espera.

Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por :

Costo total de espera = CwL

Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por unidad de tiempo y L= longitud promedio de la línea.

Costo de Servicio.

Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales.

Sistema de costo mínimo.

Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

Estructuras típicas.

Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas de colas.

Ejemplos de sistemas de colas

Situación Llegadas Cola Mecanismo de Servicio

Aeropuerto Aviones Aviones en carreteo Pista

Aeropuerto Pasajeros Sala de espera Avión

Depto. de bomberos Alarmas de incendio Incendios Depto. De Bomberos.

Compañía telefónica Números marcados Llamadas Conmutador

Lavado de carros Autos Autos sucios Mecanismo de lavado

La corte Casos Casos atrasados Juez

Panadería Clientes Clientes con números Vendedor

Carga de camiones Camiones Camiones en espera Muelle de carga

Oficina de correos Cartas Buzón Empleados por correos

Crucero Autos Autos en línea Crucero

Fábrica Subensamble Inventario en proceso Estación de trabajo.

Cartas de negocios Notas de dictado Cartas para mecanografiar Secretaria

Reproducción Pedidos Trabajos Copiadoras

Hospital Pacientes Personas enfermas Hospital

Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden hacerse los diagramas de los cuatro tipos de sistemas de la siguiente figura. Cada línea de espera individual y cada servidor individual se muestra por separado.

El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir un lavado de carros automático o un muelle de descarga de un solo lugar. El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno. El tercer sistema, aquél en que cada servidor tiene una línea de separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. El cuarto sistema, es una línea con servidores en serie, puede describir una fábrica.

TERMINOLOGÍA NOTACIÓN LÍNEAS DE ESPERA

Estos son algunos conceptos que se utilizan en los modelos de líneas de espera:

DISCIPLINA DE SERVICIO:

La disciplina de servicio se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes de la cola para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir, también conocida como FIFO: first in firstout) primero en entrar, primero en salir, según la cual se atiende primero al cliente que haya llegado de primero.

UEPS (Ultimo en Entrar Primero en Salir, también conocida como LIFO:

Last in firstout) también se conoce como pila, consiste en atender primero al cliente que ha llegado de último. SOA (Servicio en Orden Aleatorio, también se conoce como SIRO o RSS: randomselection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.

PRIORIDAD EN EL SERVICIO:

Los clientes se atienden de primero de acuerdo a alguna prioridad especificada. Si se forma alguna cola con prioridad, seguirá alguna disciplina de servicio.

Procesamiento equilibrado o igualitario, también llamado Processor Sharing: Sirve a todos los clientes por igual. La capacidad del sistema se comparte entre los clientes y todos experimentan el mismo retraso.

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN:

No se permite el faltante. Suposiciones:

1. La demanda tiene que ser constante.

2. Los costos son constantes (no se permite descuento en adquisiciones voluminosas).

3. Los proveedores entregaran con puntualidad los pedidos en el periodo comprendido.

4. El lote mínimo es igual al inventario máximo.

Nomenclatura:

Q = tamaño económico del lote. Si es muy grande o muy chico

N = número de pedido. Puedes pedir una o 2 veces D = Demanda. Por si las dudas ten cuidado y siempre papelito habla

Ci = Costo de compra. A lo mejor te sale más barato en otro lado Ch = Costo de mantener un unidad en los inventarios (%).

Co = Costo de ordenar. Ya ves que hay gandayas que te cobran él envió R = Punto de reorden.

L = Tiempo de consumo. En menos de 30 min si te cobran sino PS no

T = Tiempo para consumir el inventario máximo. El tiempo en el que te atragantas

Imáx = Inventario Máximo.

Î =Inventario Promedio.

Ct = Costo Total.

Ct = Costo de compra + Costo de ordenar + Costo de tenencia.

Costo de compra = CiD

Proceso de nacimiento o muerte

Este informe tiene como finalidad presentar una teoría operacional sobre la Teoría de Colas, la cual incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera, siendo la de mayor aplicación potencial y sin embargo es la más difícil de aplicar. Los fenómenos de espera para recibir servicio son cosas de la vida diaria; por ejemplo, esperar en una cola para pagar el teléfono o en el supermercado. No obstante, la espera no solo se limita a personas sino a procedimientos o ensamblados de máquinas, por lo tanto en esta unidad se describen modelos matemáticos aplicables a cualquier situación donde se forme una cola.

No pretendo incluir en un solo tema todo lo que necesita saber el estudiante, sino ofrecer un marco de los conocimientos básicos presentados en forma clara y precisa.

La formación de líneas de espera es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo. Con frecuencia, en la industria y en otros sitios, deben tomarse decisiones respecto a la cantidad de capacidad que debe proporcionarse. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán las unidades que buscan el servicio y/o cuánto tiempo será necesario para dar ese

servicio; es por esto que esas decisiones suelen ser difíciles. Proporcionar demasiado servicio implica costos excesivos. Por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Las líneas de espera largas también son costosas en cierto sentido, ya sea por un costo social, por un costo causado por la pérdida de clientes, por el costo de empleados ociosos o por algún otro costo importante. Entonces, la meta final es lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve directamente este problema, pero contribuye con información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera como el tiempo de espera promedio.

La teoría de colas proporciona un gran número de modelos matemáticos para describir una situación de línea de espera. Con frecuencia se dispone de resultados matemáticos que predicen algunas de las características de estos modelos.

Como ejemplo prototipo expondré la sala de emergencia del Hospital General, el cual proporciona cuidados médicos rápidos a los casos de emergencia que llegan en ambulancia o vehículos particulares. En cualquier momento se cuenta con un doctor de guardia. No obstante, a causa de la mala situación económica que vive nuestro país existe una creciente tendencia a usar estas instalaciones para casos de emergencia en lugar de ir a una clínica privada, es por ello que el hospital ha venido experimentando un aumento continuo en el número de pacientes anuales que llegan a la sala de emergencia. Como resultado, es bastante común que los pacientes que llegan durante las horas pico (temprano en la tarde) tengan que esperar turno para recibir el tratamiento del doctor. Por esto, se ha hecho una propuesta para asignar un segundo doctor a la sala de emergencia durante esas horas pico, para que se puedan atender dos casos de emergencia al mismo tiempo. Se ha pedido al ingeniero administrador del hospital que estudie esta posibilidad.

El ingeniero comenzó por reunir los datos históricos pertinentes y por hacer una proyección de estos datos al siguiente año. Reconoció que la sala de emergencia es un sistema de líneas de espera y aplicó algunos modelos de teoría de colas para predecir las características de la espera en el sistema con uno y dos doctores como veremos a continuación:

4.1 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA

Se han elaborado modelos para ayudar a los administradores a entender y tomar mejores decisiones sobre la operación de las líneas de espera. En la terminología de los métodos cuantitativos, una línea de espera también se conoce como cola y el cuerpo de conocimiento que tiene que ver con las líneas de espera se conoce como teoría de las colas o simplemente teoría de colas.

Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola.

Las características operativas de interés incluyen las siguientes:

1. Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema

2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera

3. Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo)

4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio)

6. Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LINEA DE ESPERA

Para ilustrar las características básicas de un modelo de línea de espera, consideramos la cola en el Burger Dome, que vende hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, así como un número limitado de artículos de especialidad y postres. Aunque a Burger Dome le gustaría servir inmediatamente a cada cliente, a veces llegan más comensales de los que puede manejar el personal de Burger Dome, por tanto, los clientes esperan en línea para hacer sus pedidos y recibir sus alimentos.

A Burger Dome le preocupa que los métodos que se usan actualmente para servir a los clientes dan como resultado tiempos de espera excesivos. La administración desea realizar un estudio con el fin de ayudar a determinar el mejor enfoque para producir los tiempos de espera y mejorar el servicio.

Línea de espera de un solo canal:

Cada cliente que entra al restaurante de Burger Dome debe pasar por un canal, una estación para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan más clientes forman una línea de espera y aguardan que se desocupe la estación para tomar y surtir el pedido.

La teoría de colas es el estudio de los sistemas de líneas de espera en sus distintas modalidades. El estudio de estos modelos sirve para determinar la forma más efectiva de gestionar un sistema de colas Demasiada capacidad de servicio => Excesivos gastos Poca capacidad de servicio => Mal servicio

Objetivo: Encontrar un balance adecuado entre el coste del servicio y los tiempos de espera.

Fuente de entrada: (población de clientes potenciales). Se dice que es limitada o ilimitada según si su tamaño es finito o infinito. Usualmente se asume que es ilimitada (el caso finito es más difícil analíticamente)

Clientes: entran al sistema cada cierto tiempo y se unen a una cola. Se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual los clientes entran al sistema.

Proceso de llegada: La suposición habitual es que los clientes acceden al sistema según un proceso de Poisson, lo que significa que los clientes que llegan en un intervalo determinado de tiempo siguen una distribución Poisson, con tasa media fija y sin importar cuántos clientes ya están en el sistema. Una suposición equivalente es que los tiempos entre dos llegadas consecutivas (tiempo entre llegadas) es exponencial.

Cola: cuando los clientes entran al sistema se unen a una cola. La cola es donde los clientes esperan a ser servidos. Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. La suposición de una cola infinita es más fácil de manejar analíticamente que la de una cola finita. También pueden considerarse otras suposiciones acerca del comportamiento de los clientes cuando llegan al sistema, como por ejemplo que un cliente rehúse acceder al servicio porque la cola es demasiado larga.

Disciplina de la cola: En un determinado momento se selecciona un miembro de la cola, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. La disciplina deservicio se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes de la cola para recibir el servicio. – FIFO (más común) – Aleatorio– LIFO– Sistema de prioridades

Mecanismo de servicio: cuando un cliente es tomado de la cola, accede al mecanismo de servicio, que consiste en una secuencia de instalaciones deservicio en serie que el cliente debe pasar para completar el servicio. Cada instalación de servicio estará formada por varios canales de servicio paralelos, llamados servidores. Se debe especificar el número de instalaciones de servicio en serie y el número de servidores paralelos en cada una de ellas. Los modelos más comunes suponen una única instalación con uno o varios servidores disponibles.

Proceso de servicio: En cada instalación, el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio hasta su fin en dicha instalación se llama tiempo de servicio. El modelo de colas debe especificar la distribución de probabilidad del tiempo de servicio década servidor, y quizás de cada tipo de cliente, aunque lo común es que todos los servidores sigan la misma distribución. La suposición más habitual es que este tiempo de servicio es exponencial. Otras distribuciones de servicio importantes son la degenerada y la Erlang.

ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS

Proceso básico de colas

El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan a través del tiempo en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas. En la siguiente figura se da un esquema de este proceso.

Fuente de entrada (población potencial)

Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales distintos. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce como población de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de modo que también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Como los cálculos son mucho más sencillos para el caso infinito, esta suposición se hace muy seguido aun cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande, y deberá tomarse como una suposición implícita en cualquier modelo que no establezca otra cosa. El caso finito es más difícil analíticamente, pues el número de clientes en la cola afecta el número potencial de clientes fuera del sistema en cualquier tiempo; pero debe hacerse esta suposición finita se la tasa a la que la fuente de entrada genera clientes nuevos queda afectada en forma significativa por el número de clientes en el sistema de líneas de espera.

También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta un tiempo específico tiene una distribución Poisson. En nuestro caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin importar cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito). Una suposición equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.

Cola Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas, según si este numero es finito o infinito. La suposición de una cola infinita es la estándar para la mayor parte de los modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota así puede ser un factor complicado para el análisis. Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, necesitan suponer una cola finita.

Disciplina de la cola

La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: primero en entrar, primero en salir, aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden. La que suponen como normal los modelos de colas es la primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca otra cosa.

Mecanismo de servicio

El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una. Los modelos más elementales suponen una instalación, ya sea con un servidor o con un número finito de servidores.

El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de un sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores.

Un proceso de colas elemental

Como ya se ha sugerido, la teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que más prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que puede estar vacía en ciertos lapsos de tiempos) se forma frente a una instalación de servicio, dentro de la cual se encuentran uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe servicio de uno de los servidores, quizá después de esperar un poco en la cola (línea de espera). En la figura se da un esquema del sistema de colas elemental del que se habla (cada cliente se indica por una C y cada servidor por una S).

Observe que el proceso que ilustramos en el ejemplo al inicio es de este tipo. La fuente de entrada genera clientes en la forma de casos de emergencia que requieren cuidado médico. La sala de emergencia es la instalación de servicio y los doctores son los servidores.

Un servidor no tiene que ser un solo individuo; puede ser un grupo de personas, por ejemplo, una cuadrilla de reparación que combina fuerzas para realizar, de manera simultánea, el servicio que solicita el cliente. Aún más, los servidores ni siquiera tienen que ser personas. En muchos casos puede ser una máquina o una pieza de equipo, como un cargador frontal que presta el servicio cuando se requiere (tal vez con la ayuda de un operador). Con esta misma línea de ideas, los clientes en la cola no tienen que ser personas. Por ejemplo, pueden ser unidades que esperan ser procesadas en una cierta máquina, o pueden ser carros que esperan pasar por una caseta de cobro.

No es necesario que de hecho se forme físicamente una línea de espera delante de una estructura física que constituye la instalación de servicio; es decir, los miembros de la cola pueden estar dispersos en un área mientras esperan que el servidor venga a ellos, como las máquinas que esperan reparación. El servidor o grupo de servidores asignados a un área constituyen la instalación de servicio para esa área. De todas maneras, la teoría de colas da un número promedio de clientes en espera, el tiempo promedio de espera, etc. pues es irrelevante si los clientes esperan agrupados o no. El único requisito esencial para poder aplicar la teoría de colas es que los cambios en el número de clientes que esperan un servicio ocurran como si prevaleciera la situación física que se describe en la figura anterior (o una contraparte valida).

Muchos de los modelos para la teoría de colas hacen la suposición de que todos los tiempos entre llegadas y todos los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos. Por ejemplo, el modelo M/M/s supone que tanto los tiempos entre llegadas como los de servicio tienen una distribución exponencial y que el número de servidores es s (cualquier entero positivo). El modelo M/G/1 supone que los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial pero no pone restricciones sobre la distribución de los tiempos de servicio, mientras que el número de servidores está restringido a exactamente 1.

EJEMPLOS DE SISTEMAS DE COLAS REALES

Puede parecer que la descripción de los sistemas de colas puede parecer más o menos abstracta y sólo es aplicable en situaciones prácticas bastante especiales. Por el contrario, los sistemas de colas ocurren con sorprendente frecuencia en una amplia variedad de contextos. Para ampliar el horizonte sobre la aplicabilidad de la teoría de colas, se mencionarán brevemente varios ejemplos reales de sistemas de colas.

Una clase importante de sistemas de colas que se encuentran en la vida es el sistema de servicio comercial, en donde los clientes externos reciben un servicio de una organización comercial. Muchos de estos sistemas incluyen un servicio de persona a persona en una localidad fija, como una peluquería (los peluqueros son los servidores), es servicio de una cajera de banco, las cajas de cobro en un supermercado y una cola en una cafetería (canales de servicio en serie). Muchos otros sistemas son de tipo diferente, como la reparación de aparatos domésticos (el servidor va hacia el cliente), una máquina de monedas (el servidor es una máquina) y una gasolinera (los clientes son automóviles).

Otra clase importante es la de sistemas de servicio de transporte. Para algunos de estos sistemas los vehículos son los clientes, como los automóviles que esperan pasar por una caseta de cobro o un semáforo (el servidor), un camión de carga o un barco que esperan que una cuadrilla les dé el servicio de carga o descarga y un avión que espera aterrizar o despegar en una pista (el servidor). (Un estacionamiento es un ejemplo poco usual de este tipo, en el que los carros son los clientes y los espacios son los servidores, pero no existe una cola porque si el estacionamiento está lleno, los clientes se van a otro lado a estacionarse). En otros casos, los vehículos son los servidores, como los taxis, los camiones de bomberos y los elevadores.

En los últimos años, tal vez la teoría de colas se ha aplicado más a los sistemas de servicio interno en la industria y en los negocios, en donde los clientes que reciben el servicio son internos o parte de la organización. Los ejemplos incluyen sistemas de manejo de materiales, en donde las unidades de manejo de materiales (los servidores) mueven cargas (los clientes); sistemas de mantenimiento, en donde las brigadas de mantenimiento (los servidores) reparan máquinas (los clientes) y puestos de inspección en los que los inspectores de control de calidad (los servidores) inspeccionan artículos (los clientes). Las instalaciones para empleados y los departamentos que dan servicio a empleados también entran en esta categoría. Además, las máquinas se pueden ver como servidores cuyos clientes son los trabajos que se están procesando. Un ejemplo relacionado muy importante es un centro de cómputo en el que la computadora se puede ver como el servidor.

Es del reconocimiento general que la teoría de colas también se puede aplicar a sistemas de servicio social. Por ejemplo, un sistema judicial es una red de colas, en donde las cortes son las instalaciones de servicio, los jueces (o los jurados) son los servidores y los casos que esperan el proceso son los clientes. Un sistema legislativo es una red de colas parecida, en el que los clientes son los asuntos que el congreso va a tratar. Algunos sistemas de salud pública son sistemas de colas. Al inicio se vio un ejemplo (la sala de emergencia de un hospital), pero también las ambulancias, las máquinas de rayos X y las camas del hospital pueden jugar el papel de servidores en sus propios sistemas de colas. En forma parecida, las familias en espera de viviendas de interés social u otros servicios sociales se pueden concebir como clientes de un sistema de colas.

Aun cuando éstas son cuatro clases amplias de sistemas de colas, la lista todavía no se agota. De hecho, la teoría de colas comenzó a principios de siglo con aplicaciones a ingeniería telefónica (el fundador de la teoría de colas, A.K. Erlang, era un empleado de la Danish Telephone Company en Copenhague), y la ingeniería telefónica constituye todavía una importante aplicación. Lo que es más, cada individuo tiene sus propias líneas de espera personales: tareas, libros que leer, etc. Estos ejemplos son suficientes para sugerir que los sistemas de colas sin duda ocurren con toda frecuencia en muchas áreas de la sociedad.

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:

SUPOSICIÓN 1.

Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0, 1,2,….).

SUPOSICIÓN 2.

Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….).

SUPOSICIÓN 3.

La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

Como consecuencia de las suposiciones 1 y 2, el proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial de cadena de Markov de tiempo continuo. Los modelos de colas que se pueden representar por una cadena de Markov de tiempo continuo son mucho más manejables analíticamente que cualquier otro.

Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla).

4.1.1 UN SERVIDOR, UNA COLA

Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola, ejemplos de ellos son los bancos, restaurantes, hospitales, pizzerías, etc. Las líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de espera formando colas mediante medidas representativas de eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella y la utilización promedio de las instalaciones. La teoría de líneas de espera o también llamada teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares. El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang en1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada.

Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: La cola La instalación del servicio

El proceso entre llegadas

El proceso entre de entrada se denomina por lo regular, proceso de llegadas. Las llegadas se llaman clientes. En todos los modelos que se estudian se supone que no más de una llegada ocurre en un instante dado. En el caso de un restaurante es una suposición irreal. Si hay más de una llegada en un instante dado se dice que se permiten las llegas en masa. Las llegadas pueden ser: Personas Automóviles Maquinas que requieren reparación, etc. Se supone por lo común que el número de clientes presentes en el sistema no afecta el proceso de llegadas. Hay dos situaciones comunes en las cuales el proceso de llegadas podría depender de la cantidad de clientes presentes. La primera se presenta cuando se extrae de una pequeña población su ponga que hay solo cuatro barcos en un astillero, si los cuatro barcos están en reparación entonces ningún barco puede estropearse en un futuro cercano, por otro lado silos cuatro barcos están navegando existe una probabilidad muy alta de una descompostura en un futuro cercano. Los modelos en los cuales las llegadas se toman de una pequeña población reciben el nombre de modelos de origen finito. Otra situación en la cual el proceso de llegadas depende de la cantidad de clientes presentes ocurre cuando la razón a la cual llegan los clientes a cierta instalación disminuye cuando esta está llena. El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media delegadas ( ).

El tiempo esperado entre llegadas es 1/ .Además es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas, generalmente se supone una distribución exponencial, esto depende del comportamiento de las llegadas. La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños, en general se considera que las llegadas son aleatorias, la última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente.

La cola:

El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio, el número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio. La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola, generalmente se supone que la cola es infinita, aunque también la cola puede ser finita. Para describir por completo un sistema de líneas de espera, se debe describir también la disciplina de las líneas de espera y el modo en el cual los clientes forman las líneas de espera. La disciplina de las líneas de espera explica el método usado para determinar el orden con el cual se atienden a los clientes. La disciplina más común es primero en llegar primero en ser atendido (PEPS) o sus siglas en inglés (FCFS), en el cual se atienden en el orden en que llegan. En la disciplina del (LCFS) el último en llegar y el primero en ser servido o UEPS, un ejemplo claro de esta disciplina es en el elevador. El SIRO, el servicio en orden aleatorio, cuando una persona que llama a una aerolínea se le hace esperar, la suerte determina con frecuencia quien será la siguiente persona en ser atendida por un operador. Se considera por ultimo las disciplinas de prioridad en las colas. Una disciplina de prioridad clasifica cada llegada en una categoría, cada categoría recibe luego un nivel de prioridad y dentro de cada nivel de prioridad los clientes entran en el servicio de acuerdo al FCFC. Las disciplinas de prioridad se usan a menudo en salas de urgencia con el objeto de determinar el orden en el cual los pacientes reciben atención. Servicio El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples, el tiempo de servicio varía de cliente a cliente, el tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ( ).El tiempo esperado de servicio equivale a 1/ .Para representar todo lo mencionado aquí se encuentran unos modelos básicos de los sistemas de colas.

Distribución de llegadas:

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuándo ocurrirá. En tales casos los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad de poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas.

Distribución de tiempos de servicio:

El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez el servicio ha iniciado.

Se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t.

Disciplina en la línea de espera:

Al describir un sistema de línea de espera debemos definir la manera en que las unidades que esperan el servicio se ordenan para recibirlo.

• En general para la mayoría de las líneas de espera orientadas al cliente, las unidades que esperan servicio se acomodan según el principio el primero que llega, el primero al que se sirve; este enfoque se conoce como disciplina de línea de espera o disciplina de cola FCFS (first-come, first served).

Sin embargo algunas situaciones exigen disciplinas de cola diferentes:

• El primero que llega, primero al que se le sirve

• Último en entrar, primero en salir

• Atención primero a la prioridad más alta

4.1.2 N SERVIDORES, UNA COLA

Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. La operación de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema de dos canales al abrir un segundo canal de servicio.

Análisis de costo

Una de las decisiones habituales en el uso de este modelo puede serlo el de definir la cantidad de servidores necesarios. Por ejemplo, la cantidad de ascensores en un edificio, la cantidad de escritorios para un equipo de trabajo, etc.

La decisión se deberá basar en una Relación entre dos costos básicos: el costo de proveer servidores adicionales versus el costo de demorar o no prestar el servicio. Se asume que el costo de demorar el servicio es un monto definido por cliente, por unidad de tiempo insumida en el sistema. Si bien es relativamente sencillo conocer el costo de un servidor, el costo de hacer esperar a un cliente puede resultar, a veces, intangible y generalmente difícil de establecer. Hay que aclarar que los costos por la espera existen y en ciertos casos pueden ser muy significativos, por lo que deben ser estimados, si es que se desea realmente diseñar un sistema de colas inteligente y controlable. Los costos a los que nos acabamos de referir deben estar presentados por unidad de tiempo, a los efectos de realizar cálculos comparables. Si por ejemplo, el costo de un servidor consiste en el salario que debe pagarse a quien lo atiende, deberá anualizarse, para incluir aguinaldo, vacaciones, etc., y luego convertirlo en la misma unidad de tiempo que se use para determinar el tiempo de servicio o de espera.

Si se define: Cd = Costo de demora por cliente por unidad de tiempo

Cs = Costo por unidad de tiempo para agregar otro servidor

L = Número promedio en el sistema.

El costo total por unidad de tiempo para una estación con c servidores es:

L Cd + c Cs

A medida que c aumenta, la capacidad adicional incrementará la velocidad del servicio y L irá disminuyendo. Por consiguiente, una información útil que debe brindar el sistema es el número de servidores que minimice el costo total. En el caso que la sala de espera tenga una capacidad limitada, surgen otros análisis posibles. Así, se relacionan el costo de servidores adicionales versus el costo de perder el negocio con clientes que se retiran antes de ser atendidos, más el costo de la demora para Los clientes atendidos

Definiendo: Cr = Costo de no brindar el servicio a un cliente

A = Tasa de llegadas

P = Probabilidad que un cliente se vaya de la cola sin ser atendido

El costo total será L Cd + c Cs + p A Cr

Operación de estado estable:

Generalmente la actividad se incrementa gradualmente hasta un estado normal o estable. El período de comienzo o principio se conoce como período transitorio, mismo que termina cuando el sistema alcanza la operación de estado estable o normal.

ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA

Antes de que pueda llevarse a cabo un análisis económico de una línea de espera, debe elaborarse un modelo de costo total, el cual incluye el costo de esperar y el costo de servicio.

Para realizar un análisis económico de una línea de espera debemos obtener estimaciones razonables del costo de esperar y el costo de servicio. En el problema de Burger Dome, el costo de esperar sería el costo por minuto para un cliente que espera por servicio. Este costo no es un costo directo para Burger Dome; sin embargo, si Burger Dome lo ignora y permite líneas de espera largas, los clientes comerán en otra parte. Por tanto Burger Dome experimentará pérdida en ventas y en efecto, incurrirá en un costo.

Generalmente es más fácil determinar el costo del servicio. Este es el costo relevante asociado con la operación de cada canal de servicio; en el problema de Burger Dome, incluiría los salario y prestaciones del empleado y cualquier otro costo directo asociado con la operación del canal de servicio. En Burger Dome este costo se estima en $7 por hora. Suponemos que Burger Dome está dispuesto a asignar un costo de $10 por hora para el tiempo de espera del cliente. Usamos la cantidad promedio en el sistema, L.

Substituyendo fórmula

Sistema de un solo canal (L=3 clientes)

TC= 10 (3) + 7 (1) = $37.00 por hora

Sistema de dos canales (L=0.8727 clientes)

TC= 10 (0.8727) + 7 (2)= $22.73 por hora

Por tanto, con base en los datos de costo proporcionados por Burger Dome, el sistema de dos canales proporciona la operación más económica.

La forma general de las curvas de costo en el análisis económico de las líneas de espera consiste en que el costo del servicio aumenta conforme aumenta la cantidad de canales; pero con más canales, el servicio es mejor. Como resultado, el tiempo de espera y el costo disminuyen conforme se aumenta la cantidad de canales. Puede encontrarse la cantidad de canales que proporcionará una buena aproximación al diseño de costo total mínimo evaluando el costo total para varias alternativas de diseño.

4.1.3 N SERVIDORES, N COLAS

LINEAS DE ESPERA

El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separación no sería válida.

4.2 CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCION DE DEPOISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DELINEAS DE ESPERA.

Sistemas de colas: las llegadas - distribución de poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. Propiedades. La función de masa de la distribución de Poisson es:

Donde: k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).

λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a, el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es:

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es Intervalo de confianza

Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de λ, se propone en Guerrero (2012).1 Dada una serie de eventos k (al menos el 15 -20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por: Entonces los límites del parámetro están dadas por:

Sumas de variables aleatorias de Poisson

La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces.

Sistema de colas:

Distribución binomial

La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y de una distribución binomial tienden a infinito y a cero de manera que se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.

Aproximación normal

Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de , una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente converge a una distribución normal de media nula y varianza

1. Distribución exponencial

Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos síguela distribución exponencial.

Modelos de Poisson

Para una única variable independiente X, es un modelo de la forma:

o, para simplificar la notación, simplemente: donde ln significa logaritmo neperiano, a0 y a1 son constantes y X una variable que puede ser aleatoria o no, continua o discreta. Este modelo se puede fácilmente generalizar para k variables independientes:

Por lo tanto a0 es el logaritmo de l (probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tamaño unidad) cuando todas las variables independientes son cero, y ai es el cambio en el logaritmo de l (o logaritmo del cociente de l ) cuando la variable Xi aumenta una unidad, manteniéndose constantes las demás o, dicho de otro modo, es la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo unidad cuando todas las variables independientes son cero y l el cociente de dicha probabilidad para un aumento de una unidad en la variable Xi (riesgo relativo). Obsérvese que, al igual que en la regresión logística, el modelo supone efectos multiplicativos, es decir, si la variable Xi aumenta n unidades, la probabilidad para la variable de Poisson se multiplica por es decir, la potencia n-ésima de

Teniendo en cuenta, que para una variable de Poisson: m = ls el modelo también se puede poner en función de m como:

Ejemplo

Se quiere comparar la incidencia de cáncer de piel en 2 ciudades, para ello se registran los cánceres de piel aparecidos en el último año, 18 para la ciudad A y 30 para la B, cuyas poblaciones respectivas son 350.000 y 410.000.

Se trata de variables de Poisson con intervalo de personas-tiempo. Asumiendo que ambas poblaciones se han mantenido constantes a lo largo de ese año y que todos los individuos eran susceptibles de enfermar, los tamaños de los intervalos son respectivamente 350.000 y 410.000 personas-año y la mejor estimación de las densidades de incidencia:

Definiendo la variable X = 0 para la ciudad A y X = 1 para la B, estos resultados se pueden expresar con un modelo de regresión, siendo: el logaritmo de la densidad de incidencia en la ciudad A y el logaritmo de la razón de densidades de incidencia, es decir:

Por lo tanto, la densidad de incidencia en B es 1,423 la de A (42,3% más alta). Evidentemente, para comparar ambas incidencias, simplemente hay que comparar con cero o con 1.

Se puede plantear que esta diferencia en las incidencias pueda ser debida, simplemente, a que ambas ciudades tengan una distinta pirámide de población (es sabido que la incidencia del cáncer es distinta para distintos grupos de edad) o quizás, y sería una hipótesis más interesante a investigar, a algún otro factor. Si se conoce la distribución de las poblaciones para los distintos grupos de edad, así como el grupo al que pertenece cada enfermo, se puede plantear un modelo: siendo X1 la ciudad y X2 el grupo de edad. En este modelo a1 es la razón de densidades de incidencia para ambas ciudades controlando por la edad. Si a1 es distinto de 0, se puede concluir que existe algún factor, distinto de la edad, en ambas ciudades que incide en el cáncer de piel.

Modelos Poisson un servidor

Existen una gran variedad de modelos para los sistemas de colas, las dos características más importantes serán:

a) Los tiempos de llegada.

b) Los tiempos de servicio.

En los sistemas de colas reales no es posible determinar con exactitud estos dos tiempos, es decir no son determinísticos, los más comunes son los modelos probabilísticos, donde se dan un promedio de estos tiempos, por lo tanto tenemos que usar una distribución de probabilidad que se ajuste lo más cercano a la realidad.

Para calcular la probabilidad de cuál será el tiempo entre llegadas se utiliza la distribución exponencial, esta distribución tiene una función

de densidad de probabilidad: (densidad de probabilidad continua)

MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES

Frecuentemente, los modelos de línea de espera se basan en suposiciones como las llegadas de Poisson y los tiempos de servicio exponenciales. Cuando se aplica cualquier modelo de línea de espera, deben recolectarse datos sobre el sistema real para asegurar que las suposiciones del modelo son razonables.

Características operativas:

A continuación, las fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal.

El objetivo de las fórmulas es mostrar cómo se puede dar información acerca de las características operativas de la línea de espera.

Cómo usan los administradores los modelos de línea de espera:

Los resultados de la línea de espera de un solo canal para Burger Dome muestran varias cosas importantes sobre su operación. En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de comenzar a colocar un pedido, lo cual parece un poco largo para un negocio basado en el servicio rápido. Además los hechos de que la cantidad promedio de clientes que esperan en la línea es de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan son indicadores de que debería hacerse algo para mejorar la operación.

Mejora de la operación de la línea de espera

Después de revisar las características operativas proporcionadas por el modelo de línea de espera, la administración de Burger Dome concluyó que es deseable diseñar mejoras que reduzcan los tiempos de espera; para ello, a menudo los analistas se centran en formas de mejorar la tasa de servicio. Por lo general, las mejoras en la tasa de servicio se obtienen realizando los siguientes cambios de manera individual o conjuntamente.

MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON CANALES MÚLTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES

Consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas.

A continuación, las fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para líneas de espera con múltiples canales. Estas fórmulas son aplicables si existen las siguientes condiciones.

1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.

2. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial.

4.3 APLICACIÓN MODELOS DE DECISIONEN LINEAS DE ESPERA

La teoría de colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera”. El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Las llegadas se describen por su distribución estadística. Si las llegadas ocurren con una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo "poisson”.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa.

La teoría de colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera".

Objetivos de la teoría de colas

Dada la función de costes anterior, los objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado yeso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

4.4 INFERENCIA DE RESULTADOS

Inferencia es la acción y efecto de inferir (deducir algo, sacar una consecuencia de otra cosa, conducir a un resultado). La inferencia surge a partir de una evaluación mental entre distintas expresiones que, al ser relacionadas como abstracciones, permiten trazar una implicación lógica. Al partir de hipótesis o argumentos, es posible inferir una conclusión (que puede resultar verdadera o falsa). Por ejemplo: “Todavía no recibí la confirmación oficial por parte de la empresa, lo que te digo es sólo una inferencia mía”, “Cada vez que juega la selección, Mariana falta al trabajo: mi inferencia es que mañana vamos a estar solos en la oficina”, “No podemos guiarnos por inferencias, sino que tenemos que aguardar a que los sucesos se confirmen antes de tomar una decisión”. El silogismo es una forma esencial de inferencia. Se trata de una forma de razonamiento deductivo que se forma por dos proposiciones (premisas) y una conclusión. Esta conclusión es la inferencia que necesariamente se deduce de las dos premisas. La veracidad de la conclusión dependerá de las leyes que regulan la relación entre las premisas comparadas. La garantía de verdad del nuevo juicio es la lógica, que deberá establecer distintas clasificaciones de las premisas.

•No todas las inferencias ofrecen conclusiones verdaderas. Es posible afirmar que todos los perros son animales peludos de cuatro patas, pero no se puede inferir que todos los animales peludos con cuatro patas son perros. Las inferencias suelen generarse a partir de un análisis de características y probabilidades. Si alguien hace referencia a un animal de cuatro patas, peludo y que mueve la cola, puedo inferir que lo más probable es que esté haciendo referencia a un perro.

Ejemplo Supermercado Imagínese un supermercado grande con muchas cajas de salidas. Supóngase que los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12por hora:

Dado: A= 9 clientes por hora

B= 12 clientes por hora

Explicación

Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de 2 clientes en la línea o 3 en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75% del tiempo. Y finalmente, el 32% del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema.

Ejemplo con Modelo de un servidor: El departamento para caballeros de un gran almacén tiene a un sastre para ajustes a la medida. Parece que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución de poisson con una tasa media de llegadas de 24 por hora, los ajustes se realizaron con un orden de primero que llega, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que tarda para realizar el ajuste, se distribuye exponencialmente con una media de 2 minutos.

¿Cuál es el número promedio de clientes en la sala de espera? 3.2 unidades en promedio

¿Cuánto tiempo de permanencia en el sistema debería de planear un cliente?

.16hrs en promedio = 10 minutos

¿Qué % de tiempo permanece ocioso el sastre? .2 = 20%

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre más de 10 minutos? 2.17456

Explicación

Los resultados de la línea de espera de un solo canal para Burger Dome muestran varias cosas importantes sobre su operación. En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de comenzar a colocar un pedido, lo cual parece un poco largo para un negocio basado en el servicio rápido. Además los hechos de que la cantidad promedio de clientes que esperan en la línea es de 2.25 y que75% de los clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan son indicadores de que debería hacerse algo para mejorar la operación.

CONCLUSION

Como conclusión podemos decir que la teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. Esta información se deriva a través de un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva. Dicho así, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largasen ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes. La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos sistemas puede tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad.

Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos matemáticos que representan su operación y después usa estos modelos para obtener medidas de desempeño. Este análisis proporciona información vital para diseñar de manera efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entre el costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio.

En este informe se realizó un resumen de algunos modelos básicos de teoría de colas para los que se tienen resultados particularmente útiles. Se hubiera podido considerar muchos otros modelos interesantes si el espacio lo hubiera permitido. De hecho, han aparecido en la literatura técnica varios miles de artículos de investigación que formulan y/o analizan modelos de colas, y ¡cada año se publican mucho más!

La distribución exponencial juega un papel fundamental en la teoría de las colas para representar la distribución de los tiempos entre llegadas y de servicio, ya que esta suposición permite representar un sistema de colas como una cadena de Markov de tiempo continuo. Por la misma razón, son de gran utilidad las distribuciones tipo fase como la distribución Erlang, en donde se desglosa el tiempo total en fases individuales que tienen distribuciones exponenciales. Haciendo algunas suposiciones adicionales, se han obtenido importantes resultados analíticos sólo para un pequeño número de modelos de colas.

Los modelos de disciplina de prioridades son útiles para la situación común en la que se da prioridad a algunas categorías de clientes sobre otras para recibir el servicio.

En otra situación común los clientes deben recibir servicio en distintas estaciones o instalaciones. Los modelos de redes de colas se usan cada vez más en estas situaciones. Esta es una área especialmente activa en la investigación actual.

Cuando no se dispone de un modelo manejable que proporcione una representación razonable del sistema bajo estudio, un enfoque usual es obtener los datos de desempeño pertinentes mediante el desarrollo de un programa de computadora para simular la operación del sistema.

BIBLIOGRAFIA

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Pdf Alfanumérico

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