Algebra Unidad 4

Contenido

Unidad 4 Espacios Vectoriales

4.1 Definición de espacio vectorial…………………………………………………………………………………………….

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades…………………………………………………………..

4.3 Combinación lineal, independencia lineal………………………………………………………….

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base…………………………………………………..

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades………………………………………………….

4.6 Base ortomonal, proceso de ortomalización de Gram- Schmidt………………………………………..

Intoducción

Los conceptos relacionados con el término vector, aparecen en diferentes áreas de física, ingeniería y matemáticas. Por mencionar unos cuantos, conceptos importantes en física como fuerza, aceleración y velocidad se pueden representar de manera adecuada por medio de ideas geométricas y algebraicas relacionadas con vectores. Lo concerniente a cuestiones geométricas se logra al identificar a un vector con un segmento dirigido cuyo origen coincide con el de un sistema coordenado. La representación algebraica se logra al asociar a cada punto del sistema coordenado, distinto del origen, el vector que tiene P por extremo.

4.1 Definición de espacio vectorial

Espacio vectorial real

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas que se enumeraran a continuación.

Notación. Si x y y están en v y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como ax.

Ants de presentar la lista de las propedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuentos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o en R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios. En segunda instancia, la definición antes mencionada ofrece una definición de espacio vectorial real. La palabra “real” signigfica que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmanete sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales.

Axiomas de un espacio vectorial

Si x E V y y E V, entonces x + y E V (Cerradura bajo la suma).

Para todo x, y y z en V, (x+y) + z = x + (y+z) (ley asociativa de la suma de vectores).

Existe un vector 0 E tal que para todo x E v,x+0=0+x=x (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo).

Si x E V, existe un vector – x en E V tal que x+ (-x)=0 (se llama inverso aditivo de x).

Si x y y están en V, entonces x+y = y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

Si x E V y a es un escalar, entonces ax E V (cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

Si x y y están en V y a es un escalar, entonces a(x+yy) = ax +ay (primera lay distributiva).

Si x E V y a y B son escalares, entonces (a+B) x= ax +Bx (segunda ley distributiva

Si x E V y a y B son escalares entonces a (Bx) = (aB) x (ley asociativa de la multiplicación).

Para cada vector X E V, 1x=x

Espacio vectorial trivial

Sea V = {0}. Es decir, V consiste sólo en el número 0. Como 0 +0 = 1 ∙ 0 = 0 + (0 +0) = (0+0) +0 = 0, se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuencia se le otorga el nombre de espacio vectorial trivial.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Definición:

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar de definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Teorema 1:

Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que

Lo anterior dice que:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

El subespacio trivial:

Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste en el vector cero nada más es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para todo número real a.

Teorema 2:

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces

H1 H2 es un subespacio de V.

Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades.

Definición:

Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en sí un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas sobre V. Se dice entonces que H es un subespacio de V.

Teorema:

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas de cerradura valen:

Reglas

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