Matematicas

Lecci ́on 1

Conjuntos y Subconjuntos

Contenido

1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2 Determinaci ́on por Extensi ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3 Determinaci ́on por Comprensi ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.5 Conjunto Vac ́ıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.6 Axioma de Extensi ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Inclusi ́on de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2 Inclusi ́on Estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3 Proposici ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4 Proposici ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.5 Caracterizaci ́on de la Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.7 Transitividad de la Inclusi ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Un conjunto es la reuni ́on en un todo de objetos de nuestra in-

tuici ́on o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables

los unos de los otros.

Georg Cantor (1845-1918)

El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matem ́aticas modernas. La mayor ́ıa de los

matem ́aticos creen que es posible expresar todas las matem ́aticas en el lenguaje de la teor ́ıa de conjuntos.

Nuestro inter ́es en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matem ́aticas como a su

utilidad en la modelizaci ́on e investigaci ́on de problemas en la inform ́atica.

Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor

1

. Despu ́es de que la

teor ́ıa de conjuntos se estableciera como un ́area bien definida de las matem ́aticas, aparecieron con-

tradicciones o paradojas en la misma. Para eliminar tales paradojas, se desarrollaron aproximaciones

m ́as sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teor ́ıa de conjuntos se

ocupa, generalmente, de la teor ́ıa elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor.

Utilizaremos esta aproximaci ́on m ́as simple y desarrollaremos una teor ́ıa de conjuntos de la cual es posible

1

Georg Cantor. Matem ́atico alem ́an de origen ruso (San Petesburgo 1845-Halle 1918). Despu ́es de estudiar en Alemania,

fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribi ́o numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser el

creador de la

Teor ́ıadelosconjuntos

.

1

Universidad de C ́adiz Departamento de Matem ́aticas

derivar contradicciones. Parece extra ̃no el proponerse tal cosa deliberadamente, pero las contradicciones

no son un problema si, como es nuestro caso, el universo del discurso se define convenientemente. A ́un

m ́as, la existencia de las paradojas en la teor ́ıa elemental

...