Error en Estado Estable

R6U3 Error en Estado Estable

Error en Estado Estable

Cuando un sistema de control se le aplica una entrada, se espera una vez que desaparezcan los efectos transitorios, la salida se acerque al valor de la entrada.

A partir de lo anterior, el error entre este valor y el de la entrada se denomina error de estado estable.

ERROR: es la diferencia entre la señal de salida requerida (referencia de entrada) y la señal de salida real que representa.

Para un sistema de control de lazo abierto en una entrada (in) y una salida (out), el Error E(s), es:

[pic 1]

𝐄(𝐬) = 𝜃𝐢𝐧(𝐬) − 𝜃𝐨𝐮𝐭(𝐬)

Ahora bien, si la función de trasferencia de G(s) es:

𝐆(𝐬) = 𝜃𝐨𝐮𝐭(𝐬)

𝜃𝐢𝐧(𝐬)

𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬) = 𝜃𝐨𝐮𝐭(𝐬)

Se tiene que el error es:

𝐄(𝐬) = 𝜃𝐢𝐧(𝐬) − 𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬)

𝐄(𝐬) = 𝜃𝐢𝐧(𝐬) ∗ [𝟏 − 𝐆(𝐬)]

𝐄(𝐬) = [𝟏 − 𝐆(𝐬)] ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬) … . . 𝒂)[pic 2]

Se especifica que el error depende del sistema (𝐆(𝐬) planta) y de la entrada 𝜃𝐢𝐧(𝐬)

Para un sistema de control de lazo cerrado nuevamente existe una señal de referencia

𝜃𝐢𝐧(𝐬) y una señal real 𝜃𝐨𝐮𝐭(𝐬) que es retroalimentada, de esta manera el Error E(s) es:

[pic 3]

𝐄(𝐬) = 𝜃𝐢𝐧(𝐬) − 𝜃𝐨𝐮𝐭(𝐬)[pic 4]

Ahora bien, si la función de trasferencia G(s) es la función de transferencia de la trayectoria directa, entonces existe una retroalimentación unitaria:

𝜃𝐨𝐮𝐭(𝐬)        𝐆(𝐬)[pic 5][pic 6]

𝜃𝐢𝐧

(𝐬) = 𝟏 + 𝐆(𝐬)

𝜃𝐨𝐮𝐭(𝐬) =

𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬)

[pic 7]

𝟏 + 𝐆(𝐬)

𝐄(𝐬) = 𝜃𝐢𝐧(𝐬) − 𝜃𝐨𝐮𝐭(𝐬)

Se tiene que el error es:

𝐄(𝐬) = 𝜃

𝐢𝐧

(𝐬) − 𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬)

𝟏 + 𝐆(𝐬)

𝐄(𝐬) = 𝜃𝐢𝐧(𝐬) − 𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬)

𝟏        𝟏 + 𝐆(𝐬)

𝐄(𝐬) = [𝟏 + 𝐆(𝐬)][𝜃𝐢𝐧(𝐬)] − 𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬)[pic 8]

𝟏 + 𝐆(𝐬)        𝟏 + 𝐆(𝐬)

𝐄(𝐬) = 𝜃𝐢𝐧(𝐬) + 𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬) − 𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬)

𝟏 + 𝐆(𝐬)

𝟏

𝐄(𝐬) = 𝟏 + 𝐆(𝐬) ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬)[pic 9]

[pic 10]

Se especifica que el error depende del sistema (𝐆(𝐬) planta) y de la entrada 𝜃𝐢𝐧(𝐬)

Ahora cuando se tiene un sistema de control en lazo cerrado con un lazo de retroalimentación con función de transferencia 𝐇(𝐬) siguiente;

[pic 11]

El sistema se convierte en uno con retroalimentación unitaria, figura siguiente;

[pic 12]

El resultado es un sistema equivalente con retroalimentación unitaria de la forma que se ilustra en la figura siguiente, y su función de transferencia de la trayectoria directa está dada por:

[pic 13]

[pic 14]

Como finalidad de cálculo del error en estado estable 𝐞𝐬𝐬(𝐬) se utiliza el teorema del valor final.

El error en estado estable 𝐞𝐬𝐬(𝐬) es el valor del error, el cual es una función del tiempo t, cuando todos los transitorios han desaparecido, y por tanto es el valor cuando t tiende a infinito:

𝐞𝐬𝐬 = 𝐥𝐢𝐦 𝐞(𝐭) = 𝐥𝐢𝐦 𝐬 ∗ 𝐄(𝐬)

𝐭→∞        𝐬→𝟎

Para un sistema en lazo abierto:

𝐄(𝐬) = [𝟏 − 𝐆(𝐬)] ∗ 𝜃𝐢𝐧(𝐬) … . . 𝐚)

[pic 15]

Y para un sistema en lazo cerrado:[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Ejemplo:

Calcular la magnitud del error en estado estable para

...