CONTROL DIGITAL ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE

CONTROL DIGITAL

ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DEE. J. Taconi – R. J. Mantz

J. A. Solsona – R. Ojeda

Laboratorio de Electrónica Industrial Control e Instrumentación (LEICI)

Departamento de Electrotecnia – Facultad de Ingeniería – UNLP

CAPÍTULO UNO.

NOCIONES SOBRE MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE

SEÑALES.

I.1. INTRODUCCIÓN.

La figura 1.1 representa un clásico esquema de control digital. La señal a controlar, y(t),

es muestreada a través de un convertidor analógico digital A/D y comparada con el valor de re-

ferencia (o set-point) r(nT) almacenado en una posición de memoria del sistema de microcóm-

puto en el cual se implementa el controlador digital. La información que resulta de esta compa-

ración (señal de error discreta), es procesada por el microcomputador, que mediante un

algoritmo recursivo, genera una señal de mando discreta u(nT) que es convertida en analógica a

través de un convertidor D/A. Esta secuencia de operaciones es realizada cada T segundos, sien-

do T el período de muestreo.

Sistema de microcómputo.

Perturbación

p(t).

Actuador de

potencia.

+

r(nT)

e(nT)

u(nT)

u(t)

Proceso

y(t)

+ D

D/A

ACT.

G(s)

+

-

y(nT)

A/D

Figura 1.1. Esquema básico de control digital.

-

-

En el esquema de la figura pueden distinguirse dos tipos de señales:

Señales continuas o analógicas. Son aquellas definidas para todo instante de tiempo (u(t),

y(t), p(t)).

Señales de tiempo discreto. Son aquellas únicamente definidas en los instantes de tiempo

t = nT, siendo n un número entero y T el período de muestreo (r(nT), e(nT), u(nT)).

A los efectos de simplificar determinadas expresiones, la siguiente notación también se-

rá empleada para las señales discretas:

f nT = f (nT ) .

(1-1)

Desde el punto de vista del análisis y diseño de sistemas de control muestreados, el es-

quema de la figura 1.1 no difiere del clásico esquema de texto de la figura 1.2.

1

p(t)

r

+

e(t)

e(nT)

u(nT)

u(t)

Proceso

+

y(t)

D

D/A

G(s)

-

Figura 1.2. Esquema simplificado de control digital.

Si se pretende analizar el comportamiento del sistema de la figura 1.2 (o 1.1), utilizando

las herramientas matemáticas que se emplean en sistemas analógicos, se choca con el primer in-

conveniente: no existe la transformada de Laplace de una señal que sólo está definida en algu-

nos puntos, y por consiguiente no todos los bloques de la figura 1.2 pueden ser modelados con

funciones de transferencia.

Para obviar el inconveniente citado en el último párrafo, se planteará un modelo del

conjunto convertidor A/D - controlador digital - convertidor D/A, que visto desde sus extre-

mos presente el mismo comportamiento que este conjunto y además que las señales en su inter-

ior, aunque distintas a las reales, permitan el empleo de nuestros conocimientos referidos a sis-

temas continuos.

I.2. MODELO DEL MUESTREADOR (CONVERSOR A/D) Y RECONSTRUCTOR

DE SEÑAL (CONVERSOR D/A).

La figura 1.3 a) muestra el conjunto A/D – D/A a modelar. En las partes b) y c) de la

figura 1.3 se indican las señales f(t), f(nT) y y(t) que correspondientes a la parte a).

a)

f(t)

f(nT)

y(t)

A/D

D/A

F(s)

Y(s)

b)

ff(t)

(nT)

T

2T

2

(n-1)T

nT

t

c)

y(t)

f (t)

T

2T

(n-1)T nT

t

Figura 1.3. a)Conjunto a modelar.

b)Señal continua f(t), y discreta f(nT).

c)Señal continua f(t) y reconstruida y(t).

La señal reconstruida y(t) puede ser expresada a partir de una sumatoria de escalones

desplazados en el tiempo

∞

y ( t ) =

∑ f (nT ) [ μ (t − nT ) − μ (t − ( n + 1 )T ) ] ,

(1-2)

n=−∞

donde:

 1 si t ≥ nT

μ ( t − nT ) = 

.

(1-3)

0 si t < nT

Luego, la transformada de Laplace de la señal reconstruida y(t), resulta:

Y ( s ) =

∑

∞

f (nT )

e − nTs − e − nTs −Ts

n=−∞

s

(1-4)

operando:

Y ( s) =   ∑ ∞

f ( nT ) e − nTs   1 

− e − Ts 

 .

n = −∞

  s 

(1-5)

El primer factor de la ecuación (1-5), a pesar de ser una expresión en el dominio frecuencial

complejo s, da idea de lo que sucede en el tiempo, ya que corresponde a una operación lineal

entre los valores de las distintas muestras de la señal f(nT) desplazados en el tiempo en t= nT.

Luego, si a los efectos de la modelización se asigna este factor a la transformación de Laplace

∗de la señal muestreada F (s), el segundo factor de la ecuación (1-5), corresponde a la transferen-

cia del reconstructor de señal que denominaremos Ho(s). Es decir:

con:

Y ( s ) = F * ( s ) ⋅ H o ( s )

(1-6)

3

∞

F * ( s ) =

∑ f ( nT ) e

−nTs

n=−∞

H ( s )o=

1 − e − Ts

s

.

(1-7)

(1-8)

Para completar el modelo, falta ahora, definir el bloque que relaciona la transformada

de Laplace F(s) de la señal continua con la trasformada F*(s) asignada a la señal muestreada

(figura 1.4).

f(t)

f *(t)

y(t)

?

Ho(s)

F(s)

F*(s)

Y(s)

Figura 1.4. Modelización del muestreador y reconstructor.

Teniendo en cuenta que la trasformada inversa es también una operación lineal, la anti

transformada de F*(s) resulta:

donde:

∞

f * (t ) =

∑ f (nT ) δ (t − nT )

n =−∞

f * ( t ) = f ( t ) ⋅ δ T (t ) ,

(1-9)

(1-10)

∞

δ T (t ) =

∑ δ (t − nT )

n=−∞

(1-11)

representa a un tren de impulsos (figura 1.5). Es decir, que la señal f*(t) puede considerarse co-

mo un tren de impulsos modulados por f(t).

δT(t)

...

T

2T

nT

Figura 1.5. Tren de impulsos δT(t).

4

...

t

De este modo, el conjunto muestreador y convertidor D/A modelado por medio de dos bloques

elementales. El primero (el muestreador), modula la señal a muestrear con un tren de impulsos.

El segundo, normalmente denominado reconstructor de señal de orden cero, entrega en su salida

un valor constante igual al peso del último impulso de entrada.

Según la modelización previa, la acción conjunta de los bloques A/D, controlador digi-

tal D y convertidor D/A debe interpretarse de la siguiente forma:

-

El modelo del convertidor A/D entrega en su salida un tren de impulsos, cada uno de ellos

pesado con el valor de la señal analógica en el instante t = nT correspondiente.

-

El controlador digital procesa, a través de un algoritmo recursivo, los pesos de los impulsos

de entrada y cada T segundos entrega en su salida un impulso ponderado con el resultado de

la ecuación recursiva.

-

Por último, la acción integral del reconstructor de señal convierte el tren de impulsos entre-

gado por el controlador digital en una señal escalonada.

I.3. CONTENIDO ARMÓNICO DE LA SEÑAL MUESTREADA.

El tren de impulsos δT(t) es una función periódica que puede ser desarrollada en serie de

Fourier, siendo:

∞

δ T (t ) =

∑ c

n

⋅ e

j n ωT t

,

(1-12)

n=−∞

donde:

cn =

T

1

∫

−T T 2

2

δ T ( t ) e − j n ωT t dt .

(1-13)

De la figura 1.5, se observa que dentro del intervalo de integración (-T/2, T/2), la fun-

ción δT(t) sólo está definida para t = 0. Esto significa que cn es igual a 1/T e independiente del

valor n. Luego, reemplazando la ecuación (1-13) en (1-12) resulta una nueva expresión para el

tren de impulsos

∞

δ T ( t ) =

1

∑ e

j n ωT t

,

(1-14)

T

n=−∞

que reemplazada en (1-10), permite obtener una expresión alternativa para la señal de salida del

muestreador (ecuación (1-9)):

∞

f * ( t ) =

1

∑ f ( t ) ⋅ e

j n ωT t

.

(1-15)

T

n=−∞

Aplicando el teorema del desplazamiento temporal de la transformada de Laplace :

L { f ( t ) e λ t }= F (s − λ )

(1-16)

a la expresión (1-15) se obtiene

∞

F * ( s ) =

1

∑ F (s − j n ω T

).

(1-17)

T

n = −∞

A partir de esta ecuación se observa que:

...