Analisis de sistemas de control

Taller 1 de Análisis de Sistemas de Control: Solución

• Para determinar el tipo del sistema se transforma el diagrama de bloques a uno en el que la ganancia de retroalimentación es unitaria, tal y como se observa en la figura 1.

[pic 1]

Figura 1. Diagrama de bloques que permite analizar el error.

Para ello, se tiene en cuenta que al reducir el diagrama de bloques de la figura 1 y el original a un solo bloque, se obtiene la misma función de transferencia. De esta manera:

[pic 2]

[pic 3]

Debido a que no hay ningún integrador (un factor  en el denominador), y asumiendo que  (lo que tiene sentido, puesto que de lo contrario la salida sería 0 para cualquier entrada), se concluye que el tipo del sistema es 0.[pic 4][pic 5]

• Como se trata de un sistema de tipo 0, su constante de error estática asociada es la constante proporcional asociada a una entrada escalón. De esta manera, por el teorema del valor final:

[pic 6]

[pic 7]

Se concluye que el error estacionario para una entrada escalón es de .[pic 8]

• Para determinar la constante  se utilizó el teorema del valor final, que sólo es válido cuando el límite temporal  es finito. En el caso de un sistema de tipo 0 esto es equivalente a decir que el sistema debe ser estable. Entonces se debe utilizar el criterio de Ruth-Hurwitz para hallar el rango de . [pic 9][pic 10][pic 11]

Para construir la tabla se utiliza el polinomio característico de la función de transferencia :[pic 12]

[pic 13]

De la penúltima y última filas se concluye que:

[pic 14]

1. Del diagrama se obtiene que:

[pic 15]

Entonces, para una entrada escalón se tiene:

[pic 16]

Suponiendo que las funciones de transferencia  y  son propias, se pueden escribir de la forma , donde  es una ganancia constante,  y  son polinomios que se pueden factorizar en términos de la forma , de tal modo que , y  es una constante asociada al tipo de la función de transferencia. De esta manera:[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

Es claro entonces que para que el error en estado estacionario sea 0, teniendo en cuenta el teorema del valor final, el tipo de la función de transferencia  debe ser menor al de la función de transferencia , porque de esta manera el término  en la anterior expresión tiende a 0 cuando  tiende a 0 y entonces toda la expresión () tiende a 0 cuando  tiende a 0. Entonces, se concluye que:[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

• Si  es de tipo 0, entonces  y entonces no hay forma de que  asegure un error estacionario 0 para una entrada escalón (si es que  es propia).[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
• Si  es de tipo 1, entonces  y entonces se debe cumplir que , es decir,  debe ser de tipo 0 para asegurar un error estacionario 0 para una entrada escalón.[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]
• De manera similar al caso anterior, se tiene que  y entonces  puede ser 0 o 1, por lo que  debe ser de tipo 0 o 1.  [pic 41][pic 42][pic 43]

1. En primer lugar, se halla la función de transferencia de la planta:

[pic 44]

Como se asume que el modelo de la planta es perfecto, se tiene que . Ahora bien, debido a que la planta tiene un cero ubicado en  , se trata de un sistema de fase no mínima. De esta manera, el factor  no será invertido al hallar el controlador por modelo interno:[pic 45][pic 46][pic 47]

[pic 48]

El controlador utiliza un filtro de primer orden , cuyo orden no alcanza a hacer al controlador propio. Se escoge de esta manera para obtener un PID ideal sin filtro, que está dado por:[pic 49]

[pic 50]

Entonces, comparando con la forma ideal del PID se concluye que:

[pic 51]

Al simular el sistema (figura 2) con  se obtiene la respuesta de la figura 3. Si se incrementa el valor de , la constante proporcional disminuye, de tal manera que la respuesta se hace en general más lenta. Sin embargo, también se da que el comportamiento de fase no mínima afecta en menor medida al sistema a medida que crece  . En la figura 4 se observa la respuesta para . Se puede notar cómo el tiempo de asentamiento es por lo menos un orden de magnitud mayor.[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

[pic 56]

Figura 2. Diagrama de bloques con el que se simula el sistema del punto 3.

[pic 57]

Figura 3. Respuesta del sistema del punto 3 a una entrada escalón con .[pic 58]

[pic 59]

Figura 4. Respuesta del sistema del punto 3 a una entrada escalón con .[pic 60]

1. Tal y como en el anterior punto, se tiene que , dado que se asume un modelo perfecto. Además, utilizando la aproximación de primer orden de Padé se tiene que:[pic 61]

[pic 62]

Donde se tuvo en cuenta que el cero de  se encuentra en el semiplano derecho y por esto no se tiene en cuenta para hallar . También, se toma  para obtener un PID ideal sin filtro. De esta manera:[pic 63][pic 64][pic 65]

[pic 66]

De donde se concluye que, comparando con la forma ideal de un PID:

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