Circuitos RLC Fundamentales

Capítulo 9

Circuitos RLC

Fundamentales

La corriente alterna y la tensión se pueden expresar como un tipo de vector, con magnitud y ángulo. Por consiguiente, se puede considerar como un número complejo y por ello existe una relación muy cercana entre el análisis de circuitos RLC y los números complejos.

1. Introducción

Un número complejo se puede expresar como C = a + jb, donde a y b son números reales, j = . Aquí, a es la parte real de C, y b es la parte imaginaria de C (se usa j en lugar de i para evitar confusiones con el símbolo de la corriente.

Un número complejo se puede considerar como un punto en el plano complejo; se puede expresar en forma rectangular o polar, como se muestra en la Fig. 9.1. C = 6 + 8j significa que la coordenada en el eje real es 6, y que la coorde- nada en el eje imaginario es 8. Este método se conoce como forma rectangu-lar. La forma polar se puede expresar como C = 10 ∠ 53.13º, donde 10 es la magnitud y 53.13 es el ángulo. Se puede intercambiar entre magnitudes rectangulares y polares. Las ecuaciones (9.1) a (9.4) muestran la forma de convertir

[pic 2][pic 3][pic 4]

Ejemplo 9.1. Determine las formas rectangular y polar para C, D, V y W en la Fig. 9.2(a)

        [pic 5][pic 6][pic 7]

Respuesta:

Punto C: Parte real = 4; parte imaginaria = 3.

Por lo tanto, su forma rectangular se puede escribir como C = 4 + j3

C = √ (32 + 42) = 5

θc = tan-1 (3/4) = 36.87º

Su forma polar se puede escribir como C = 5 ∠ 36.87º

Punto D: Parte real = 4; parte imaginaria = - 4.

Por lo tanto, su forma rectangular se puede escribir como D = 4 – j4

D = √(42 + 42) = 5.66

θD = tan-1 (- 4/4) = - 45º

Su forma polar se puede escribir como D = 5.66 ∠ - 45º

Punto V: Parte real = 0; parte imaginaria = - 2.

Por lo tanto, su forma rectangular se puede escribir como V = - j2

V = √(22) = 2

θV = - 90º

Su forma polar se puede escribir como V = 2 ∠ 90º

Punto W: Parte real = - 4; parte imaginaria =  4.

Por lo tanto, su forma rectangular se puede escribir como W = - 4 + j4

W = √(42 + 42) = 5.66

θW = tan-1 ( 4/- 4) = - 45º

En realidad, necesitamos referirnos al plano coordenado, y el ángulo debe leerse a partir del eje real positivo, por lo tanto en ángulo θw = 135º

Su forma polar se puede escribir como W = 5.66 ∠ 135º

Para la suma y resta de números complejos, es mejor usar la forma rectan-gular. Para multiplicación y división, es más conveniente la forma polar.

Para sumar y restar números complejos en forma rectangular, solamente es necesario sumar o restar las partes reales y las partes imaginarias, respec-tivamente. En la multiplicación y división de números complejos en forma polar, se multiplican las magnitudes y se suman los ángulos, como lo indica la Ecuación (9.5). Se dividen las magnitudes y se restan los ángulos del numerador de los ángulos del denominador, como se ve en la Fig. (9.6).

Si A = A ∠ θA, B = B ∠ θB

Entonces: ---Ver Libro de Texto---                                                (9.5)

---Ver Libro de Texto---                                                                (9.6)

Ejemplo 9.2. Si A = 2 + j1, y B = 1 + j3, calcule su suma y su diferencia.

Respuesta:

---Ver Libro de Texto---

Ejemplo 9.3. Si A = 3∠35º, y B = 2 ∠ - 20º, determine A+B y A/B

Respuesta: ---Ver Libro de Texto---

Ejemplo 9.4. Use la forma rectangular para multiplicar los siguientes números complejos:

---Ver Libro de Texto---

El conjugado del número complejo C = a + jb es forma rectangular es C* = a – jb.

En forma polar, el conjugado del número complejo c = C ∠θ, que se escribe como C* = C ∠ -θ.

La tensión alterna generalmente se puede expresar en el dominio de tiempo como un tipo de onda del tipo e(t) = Em sen (wt + θ). Si se expresa como un número complejo, entonces tendría la forma E = Em ∠θ. Cuando utilizamos números complejos para expresar una tensión alterna en forma polar, la magnitud generalmente usada es la raíz media cuadrada (rms), Erms. Por lo tanto, E = Erms ∠θ. Aquí, Em = √2 Erms, y Erms = 0.707.

En la Fig. 9.3 se describe la relación entre una fuente alterna y el número complejo.

        [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

La suma de tensión alterna o de corriente se puede hacer sumando punto a punto la forma de la onda. Viendo la Fig. 9.4, el valor correspondiente del punto A se puede escribir como e1 + e2 = 10 sen 0º + 15 sen (0º + 60º) = 13 V. El valor correspondiente al punto B se puede escribir como e1 + e2 = 10 sen 90º + 15 sen (90º + 60º) = 10 + 7.5 = 17.5 V. Usando este método, gradualmente se puede obtener la onda  e1 + e2. Es un método más complejo, pues es necesario calcular punto a punto. La forma más fácil es utilizar el método del análisis de números complejos. Primero, se convierten e1 y e2 a la forma polar. En la Fig. 9.4, e1 = 10 sen wt se puede convertir a E1 = 10 ∠ 0º; e2 = 15 sen (wt + 60º) se puede convertir a E2 = 15 ∠ 60º. Se suman estos dos números complejos: e1 + e2 = E1 + E2 = 10 ∠ 0º + 15 ∠ 60º = (10 cos 0º + j 10 sen 0º) + (15 cos 60º + j 15 sen 60º) = (10 + j0) + (7.5 + j13) = 17.5 + j 13 = 21.8 V ∠ 36.6º =

21.8 sen (wt + 36.6º) V. En matemáticas, e1 = 10 sen wt se expresa mediante una función de tiempo, y se llama expresión de dominio de tiempo. En E1 = 10 ∠ 0º utilizan vectores para representarla, y se considera como un vector o como expresión del dominio de la frecuencia. Por lo general se utiliza el valor rms para expresar la magnitud del potencial o del vector de la corriente. Por lo tanto,  E1 se puede expresar como E1 = 10 / √2 ∠ 0º = 10 (0.707) ∠ 0º = 7.07 ∠ 0º.

[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

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