Clase de Límite

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Universidad Nacional Experimental Marítima del Caribe

Coordinación de Ciencias Básicas

Cálculo I (Ing. Marítima, código CAL-114)

Docente: Ing. Juver J. Jiménez O.

Clase de Límite

     Es posible que en alguna ocasión, en un estacionamiento, haya tenido que acercarse al máximo al automóvil de enfrente, pero sin desear golpearlo, o ni siquiera tocarlo. Esta noción de “acercarse cada vez más a algo, pero sin tocarlo”, es muy importante en matemáticas y tiene que ver con el concepto de límite, que es fundamental para el cálculo. Básicamente, se considera que una variable “se acerca al máximo” a un valor específico, y se examina el efecto que esto tiene sobre los valores de la función. Veamos un ejemplo:

     Evaluar la función   en la cercanía de los valores dados en la tabla de abajo y calcular los valores desconocidos. Como el dominio de la función es , la función no se encuentra definida en 1 interesa saber que le sucede en su cercanía.[pic 1][pic 2]

     Resolviendo mediante una calculadora científica, o a través de una hoja de cálculo como Excel, obtenemos

     Analizando la tabla de arriba observamos que para valores menores que uno (x<1) los valores de x van aumentando hasta aproximarse a 1 por defecto y los valores de f(x) se aproximan a el valor de 3 por defecto, mientras que para valores mayores que uno (x>1) los valores de x van disminuyendo hasta aproximarse a uno por exceso y los valores de f(x) también se aproximan a el valor 3 por exceso. Si observamos los valores finales de la tabla remarcados en negrillas podemos concluir que mientras los valores de x por exceso y por defecto se acercan al valor 1, los valores de f(x) se acercan o se aproximan al valor de 3.

     El resultado anterior se puede expresar analíticamente como [pic 3]

Definición de límite: el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es el número L, y ello se escribe como:

[pic 4]

     Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L para toda x suficientemente cercana a x0, pero no igual a x0.

     Es importante recordar que cuando se determina un límite, lo importante no es lo que le sucede a f(x) cuando x es igual a x0, sino sólo lo que ocurre cuando x está cerca de x0.

     Se destaca en que el límite es independiente del sentido en que x se aproxima a x0, es decir, el límite debe ser el mismo independientemente de si x tiende a x0 desde la izquierda o desde la derecha (para x0  o  x>x0 respectivamente.

Propiedades de los límites.

1. Límite de una constante. Si   siendo C, una función constante real.[pic 5]

[pic 6]

1. Límite de una potencia. Si    para cualquier entero positivo n.[pic 7]

[pic 8]

     Si existe      y          con , entonces[pic 9][pic 10][pic 11]

1. Límite de una suma y límite de una resta. Si tenemos dos funciones y las denotamos por f(x) y g(x)

[pic 12]

1. Límite de un producto. Si tenemos dos funciones y las denotamos por  f(x) y g(x)

[pic 13]

1. Caso particular del producto, cuando una de las funciones es una constante f(x)=C y g(x)

[pic 14]

1. Límite de una cociente

[pic 15]

     El denominador en un cociente tiene que ser diferente de cero.

1. Límite de una raíz

[pic 16]

     Si n es par se requiere que la cantidad subradical sea mayor o igual que cero.

1. Límite de un logaritmo.

[pic 17]

     El argumento del logaritmo tiene que ser mayor que cero.

1. Límite de una potencia cuando la base y el exponente son funciones.

=[pic 18][pic 19]

1. Límite de una función compuesta.

[pic 20]

     Indeterminaciones de la forma: [pic 21]

     Indeterminación de la forma  utilizando factorización: cuando f(x) y g(x) de  son funciones racionales, es decir, el cociente de dos polinomios.[pic 22][pic 23]

     Regla para levantar la indeterminación. Se debe factorizar el polinomio del numerador y el polinomio del denominador (debo saber los tipos de factorización), se simplifica y se evalúa el límite con la sustitución directa o ingenua para obtener el resultado. Si al simplificar se obtiene una nueva indeterminación se debe seguir factorizando hasta levantar la indeterminación para poder resolver el límite (analizar el procedimiento).

     Tipos de factorización: diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, factor común, por agrupamiento (factor común de factor común), por la ecuación de segundo grado, por la técnica de Ruffini, en el trinomio dos números que multiplicado den c y sumados o restados den b, entre otros.[pic 24]

     Nota importante: Si en el límite de la función racional  sucede que f(x) numerador, o g(x) denominador, o ambos son funciones irracionales (raíces), se levanta el límite multiplicando por la conjugada del numerador, o por la conjugada del denominados, o por la doble conjugada. Se debe tener cuidado con las operaciones algebraicas, las factorizaciones y la simplificación para hallar el resultado del límite.[pic 25]

     Ejemplos:                   [pic 26][pic 27]

     Indeterminación de la forma  por cambio de variable: cuando f(x) y g(x) de  son funciones irracionales (raíces), muchas veces se transforman en racionales mediante un cambio de variable, tal como  y luego se calcula hacia donde tiende la variable cuando la variable x tiende a , es decir,  entonces la nueva variable  , generalmente con este cambio se obtiene una factorización más fácil para hallar el límite.[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

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