Competencia 4: Series

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Competencia 4: Series

Molinarez Palomares Aaron Jaciel

Instituto Tecnologico Superior de Puerto Peñasco

Calculo integral

Ing. Industrial

Ing. Jorge Ibarra

Contenido

4.1.- Sucesión:        2

4.2.- Serie:        3

4.2.1.-Serie finitas        3

4.2.2.-Series infinitas        3

4.3.- Serie numérica y convergencia:        4

Criterio de la raiz:        5

Criterio de la razón:        6

Criterio de la integral        7

4.4.- Series de potencias:        8

4.5.- Radio de convergencia:        9

¿Cómo se determina el radio de convergencia?        9

Ejemplo:        10

4.6.- Serie de Taylor        11

Ejemplo:        12

4.7.-Representación de funciones mediante la serie de Taylor        13

Función exponencial y logaritmo natural:        14

Serie geométrica:        14

Teorema del binomio:        14

Funciones trigonométricas:        15

4.8.- Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor:        15

Bibliografía:        17

4.1.- Sucesión:

Es un conjunto de términos formados por una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).

Para simbolizar un término general se utiliza la letra a o s, y las variables con la letra minúscula n.

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4.2.- Serie:

Es la sumatoria de una sucesión

Ejemplos: 

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Tipos de series:

4.2.1.-Serie finitas: Tienen un número limitado de términos.

Ej.

f(x)= 2m; m" {1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1, 4]

4.2.2.-Series infinitas: el número de términos es ilimitado.

Ej.

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Ejemplos extras:

-Series monótonas: son aquellas que mantienen una misma tendencia has el infinito

-Crecientes:   a1 < a2 < a3 <……< an (va aumentando término a término)

-Decreciente:  a1 > a2 > a3 >……> an   (va disminuyendo término a término)

4.3.- Serie numérica y convergencia:

Serie numérica:

La serie que representa la suma infinita de todos los números naturales sería así:

Ya que una serie se representa con el símbolo del sumatorio (la letra Sigma).

A lo que está dentro del sumatorio, se le conoce como término general.

En nuestro caso, es un ejemplo muy sencillo, el término general puede tomar distintas estructuras, representando siempre un número, para cada valor de n.

En este caso, la estructura que representa es tan simple, que directamente el número para cada valor de n es, directamente, n.

Es decir, si vamos asignando valores a n, desde el 1 hasta el infinito, como indica nuestra serie, tendríamos:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ...

Hasta el infinito.

Convergencia:

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La serie                    converge si la sucesión de sumas parciales

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converge. Esto es                 converge si y solo si la sucesión de las

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sumas parciales                        converge.

[pic 10][pic 11]

Además, si                      entonces

Otra explicacion:

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 Si la serie                 es convergente, entonces   el limite en el infinito

es igual a cero.

Criterio de la raiz:

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Sea                 una serie en términos positivos y sea  r igual 

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a                                          Entonces:

1.- Si r<1 entonces                  converge[pic 15]

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2.- Si r>1 entonces                   diverge 

Criterio de la razón:

         [pic 17]

Si l <1 diverge="" font="">

Si l > 1 converge

Si l=1 no concluye

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Criterio de la integral

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y si en lugar de sumar 1000 sumamos m > 100

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y dejando que m tienda a infinito

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De esta relación podemos concluir que si la serie      [pic 22]  diverge a ∞, entonces la integral impropia diverge también a ∞, o que, si la integral converge, entonces la serie converge.

4.4.- Series de potencias:

Una serie de potencias consiste en una sumatoria de términos en forma de potencias de la variable x, o más generalmente, de x-c, donde c es número real constante. En la notación de sumatoria una serie de potencias se expresa de la siguiente forma:

∑an (x -c)n = ao + a1 (x – c) + a2 (x – c)2 + a3 (x – c)3 + …+ an (x – c)n

Donde los coeficientes ao, a1, a2 … son números reales y la serie comienza en n = 0.

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4.5.- Radio de convergencia:

El radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del círculo de convergencia al cual la serie converge. Dicho círculo se extiende desde el valor que anula la base de las potencias hasta la singularidad más cercana de la función asociada a la serie.

Toda función analítica f(z) tiene asociada una serie de potencias en torno un punto no singular, denominada serie de Taylor

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¿Cómo se determina el radio de convergencia?

Para que una serie sea convergente es necesario que el valor absoluto de los términos sucesivos vaya en disminución cuando el número de términos sea muy grande. En forma matemática se expresaría de la siguiente manera:

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Usando las propiedades de los límites en la expresión anterior se

obtiene:[pic 26]

Aquí r es el radio de convergencia y |z – a| < r es el círculo de frontera abierta en el plano complejo donde la serie converge. En caso que el valor a y la variable z sean números reales, entonces el intervalo abierto de convergencia sobre el eje real será: (a – r, a+r).

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