DINAMICA

INDICE

VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO

VIBRACIONES LIBRES DE PARTICULAS

PENDULO SIMPLE

VIBRACIONES FORZADAS

VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS

INTRODUCCION

PUES EN ESTE TRABAJO PODREMOS OBSERVAR LOS DIFETEN TIPOS DE AMORTIGUACIONES QUE EXISTEN COMO LO SON VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS, PÉNDULO SIMPLE, FORZADAS AMORTIGUADAS ENTRE OTRAS…

VIBRACIONES SIN AMORTIGUAR

VIBRACIONES LIBRES DE PARTICULAS

Analizemos la siguiente situación:

Resorte sin masa T = k * δest

y en δest

equilibrio

W

Resorte con masa y en

equilibrio

Cuando agregamos una masa M a un resorte este tiene un alargamiento δest y después queda nuevamente en equilibrio. En este momento y según el diagrama estático:

W = T = k * δest

Ahora supongamos que la partícula se desplaza una distancia xm desde su posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Tomemos como positiva la distancia hacia abajo del punto de equilibrio y negativo desde el punto de equilibrio hacia arriba.

Después de esta acción, se generará una vibración de amplitud xm . Para el análisis, estudiaremos cuando la masa está por la posición x, en ese momento y según el diagrama de equilibrio:

m a = W – T = W - k ( δest + x ) = W - k δest - k x pero W = k δest

Î m a = m x`` = - k * x

Î x`` = - ( k/m ) x , llamemos p2 = k / m

Î x`` + p2 x = 0

El movimiento que define la anterior ecuación se llama Movimiento Armónico simple. Se caracteriza porque la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. La solución general para la ecuación x`` + p2 x = 0, es:

x = A SEN pt + B COSpt

V = Ap COSpt – Bp SENpt

a = - Ap2 SEN pt – Bp2 COS pt

Los valores de A y B, dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Se obtiene que: A = Vo / p B = x0

Después de análisis vectoriales:

x = xm SEN ( pt + φ )

V = x`= xm p COS ( pt + φ )

a = V`= x`` = - xm p2 SEN ( pt + φ )

p: se le llama la velocidad angular

xm: es el desplazamiento máximo o amplitud

φ: ángulo de fase

Por otro lado tenemos que:

Periodo = τ = 2π/p

Frecuencia = f = 1 / τ = p/2π

Los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son: Vm = xm p am = xm p2

PENDULO SIMPLE

Este sistema consiste en una plomada de masa m unida a una cuerda de longitud L que puede oscilar en un plano vertical.

Por :

Σ Ft = m at

- W*SENθ = m at por otro lado recordemos que at = r*α = L * α

m* L * α = - m g SENθ, pero α = θ`` por tanto

θ`` + ( g / L ) SENθ = 0

Para oscilaciones de pequeña amplitud, SEN θ ≅ θ expresada en radianes, entonces:

θ`` + ( g / L ) θ = 0 esta ecuación es semejante a la hallada en el caso del resorte..con la diferencia que p2 = ( g / L ).

Periodo = τ = 2π/p = 2π ( L/g )1/2

VIBRACIONES FORZADAS

Estas vibraciones son las más importantes desde el punto de vista de la ingeniería, ocurren cuando un sistema está sujeto a una fuerza periódica o cuando está unido a un soporte que tiene un movimiento alternativo.

Consideremos primero el caso de un cuerpo de masa m suspendido en un resorte y sujeto a una fuerza periódica P de magnitud P = Pm SENωt .

Representando por x el desplazamiento del cuerpo, medido desde su posición de equilibrio, la ecuación de movimiento es:

+ ↓ Σ F = m a Î Pm SENωt + W - k ( δest + x ) = m x``

Î m x`` + k x = Pm SENωt

Consideremos ahora el caso de un cuerpo de masa m suspendido de un resorte unido a un soporte en movimiento cuyo desplazamiento δ es igual a δmSENωt.

Midiendo el desplazamiento x del cuerpo, desde la posición de equilibrio estático correspondiente a ωt = 0, encontramos que la elongación total del resorte a tiempo t es ( δest + x - δmSENωt ). La ecuación del movimiento queda:

+ ↓ Σ F = m a Î W - k ( δest + x - δmSENωt ) = m x``

Î m x`` + k x = k δm SENωt

Vemos que las ecuaciones obtenidas para ambos casos son de la misma forma y una

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