Deber 14 de sistemas de control

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Sistemas de control

Introducción

Para entender y controlar los sistemas complejos, hay que obtener modelos matemáticos

cuantitativos de estos sistemas. Por tanto, es necesario analizar las relaciones entre las variables del sistema y obtener un modelo matemático. Dado que los sistemas considerados son de naturaleza dinámica, las ecuaciones descriptivas suelen ser ecuaciones diferenciales. Además, si estas ecuaciones pueden ser linealizadas, se puede utilizar la transformada de Laplace para simplificar el método de solución. En la práctica, la complejidad de los sistemas y nuestro desconocimiento de todos los factores relevantes hacen necesaria la introducción de suposiciones sobre el funcionamiento del sistema. Por lo tanto, a menudo nos resultará útil considerar el sistema físico, expresar las suposiciones necesarias y linealizar el sistema. A continuación, utilizando las leyes físicas que describen el sistema lineal equivalente, podemos obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales. Por último, utilizando herramientas matemáticas, como la transformada de Laplace, obtenemos una solución que describe el funcionamiento del sistema. En resumen, el enfoque a la modelización de sistemas dinámicos se puede enumerar como sigue:

1. Definir el sistema y sus componentes.

2. Formular el modelo matemático y los supuestos fundamentales necesarios basados en

principios básicos.

3. Obtener las ecuaciones diferenciales que representan el modelo matemático.

4. Resolver las ecuaciones para las variables de salida deseadas.

5. Examinar las soluciones y las hipótesis.

6. Si es necesario, reanalice o rediseñe el sistema.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SISTEMAS FÍSICOS

Las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de un sistema físico se obtienen utilizando las leyes físicas del proceso [1-3]. Este enfoque se aplica igualmente a los sistemas mecánicos [1], eléctricos [3], de fluidos y termodinámicos [4]. Consideremos el sistema muelle-masa torsional de la figura 2.1 con un par aplicado Ta{t). Supongamos que el elemento del muelle de torsión no tiene masa. Supongamos que queremos medir el Ts(t) transmitido a la masa m. Dado que el muelle no tiene masa, la suma de los pares que actúan sobre el propio muelle debe ser cero, o

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lo que implica que Ts{t) = Ta(t). Vemos inmediatamente que el par externo Ta(t) aplicado en el extremo del muelle se transmite a través del muelle de torsión. Debido a esto, nos referimos al par como una variable pasante. De forma similar, la diferencia de velocidad angular asociada al elemento de muelle torsional es:

[pic 2]

[pic 3]

Así, la diferencia de velocidad angular se mide a través del elemento de muelle de torsión y se denomina variable transversal. Estos mismos tipos de argumentos pueden hacerse para la mayoría de las variables físicas comunes (como la fuerza, la corriente, el volumen, el caudal, etc.). Una discusión más completa sobre las variables pasantes y cruzadas se puede encontrar en [26,27]. En la tabla 2.1 [5] se ofrece un resumen de las variables pasantes y cruzadas de los sistemas dinámicos. La información relativa al Sistema Internacional (SI) de unidades asociadas a las distintas variables tratadas en esta sección puede encontrarse en el sitio web del MCS/ Por ejemplo las variables que miden la temperatura son grados Kelvin en unidades del SI, y las variables que miden la longitud son metros. En el sitio web del MCS también se indican las conversiones importantes entre las unidades del SI y las inglesas. también en el sitio web del MCS. Un resumen de las ecuaciones descriptivas para el lumped, elementos lineales y dinámicos se indica en la tabla 2.2 [5]. Las ecuaciones de la Tabla 2.2 son descripciones idealizadas y sólo se aproximan a las condiciones reales (por ejemplo, Cuando se utiliza una aproximación lineal para un elemento distribuido).

[pic 4]

[pic 5]

                                                         2

[pic 6]

Nomenclatura

- Variable de paso: F = fuerza, T = torque, i = corriente, Q = caudal volumétrico del fluido fluido, q = flujo de calor.

- Variable transversal: v = velocidad de traslación, a> = velocidad angular, v = tensión, P = presión, 9" = temperatura.

- Almacenamiento inductivo: L = inductancia, 1/k - rigidez recíproca traslacional o rotacional rigidez, I = inercia del fluido.

- Almacenamiento capacitivo: C = capacitancia, M - masa, J = momento de inercia, C/ = capacitancia del fluido, C capacitancia del fluido, C, = capacitancia térmica.

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