Definición de Riemann

Índice

Definición de Riemann…………………………………………………....2

Partición de un intervalo……………………………………………….4

Suma de Riemann superior e inferior.……...………………………….4

Variación de las sumas de Riemann……………..……………………4

Integral de Riemann superior e inferior.

Funciones Riemann-Integrables……………………………….……….5

Caracterización de las funciones Riemann-Integrables………………6

Sumas de Riemann……………………………………………………….6

Tipos de aproximación de la integral…………………………..……….7

Funciones Riemann-Integrables...………………………………………9

Evaluación de la integral: Regla de Barrow……..………………….10

Integral de Riemann de funciones no positivas…………………….10

Propiedades de la integral de Riemann………………………………11

Teorema Fundamental del Cálculo………………………………….….12

Integrales Definidas………………..………………………………….….12

Propiedades de las Integrales Definidas………………..…………………………………………..….…..13

RIEMANN

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir.

Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

La idea fundamental es la de utilizar aproximaciones del área del dominio S. Determinando un área aproximada de la que estamos seguros de que son inferiores al área del dominio S, y buscaremos un área aproximada que sepamos que es mayor al área de S. Si estas aproximaciones pueden hacerse de forma que la diferencia entre ambas puede hacerse arbitrariamente pequeña, entonces podemos obtener el área del dominio S. Por lo tanto, el límite del área para infinitos rectángulos es el área comprendida debajo de la curva.

Teniendo los intervalos:

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)

Ejemplo 1

Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

La suma de Riemann representa la suma de las areas sobre el eje , menos la suma de las areas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje .

Partición de un intervalo

- Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de puntos P = { x0, x1, x2, ..., xn} tal que:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b

- La diferencia máxima entre cualesquiera dos puntos consecutivos de la partición, se llama norma de la partición, y se denota por || P || , es decir:

|| P || = max {xj - xj-1 , j = 1 ... n}

- Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que contiene todos los puntos de P y además otros puntos adicionales, también ordenados en orden de magnitud.

Suma de Riemann superior e inferior.

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

• La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

S(f, P) = cj (xj - xj-1)

donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

• La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) = dj (xj - xj-1)

donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

Variación de las sumas de Riemann

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

• La

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