Diseño de controladores On/off, proporcional y PID

MODELAMIENTO Y SIMULACIÓN DEL CONTROL PROPORCIONAL, ON/OFF Y PID DE UN SISTEMA HIDRAULICO VERTICAL DE DOS TANQUES EN SERIE

Wilson Suarez

Códigos: 20171383016, 2017383006

Facultad Tecnológica

Universidad Francisco José de Caldas

wilsonricardo3@hotmail.com,

Resumen

El objetivo principal el cual se fundamenta este informe es modelar y simular el comportamiento de un sistema hidráulico vertical de dos tanques en serie partiendo desde el moldeamiento y simulación de cada uno de sus componentes hasta la simulación del lazo de control del sistema aplicando control proporcional, PID y on/off.

Para simular cada componente del sistema en primer lugar se halla el modelo matemático, el cual se toma como base el sistema de dos tanques; mediante análisis matemático se obtienen las ecuaciones diferenciales de ambos tanques; luego se hará lo mismo para las diferentes etapas de control planteadas en el sistema, logrando obtener las respectivas funciones de transferencias para la simulación.

Una vez realizada la simulación de cada componente, se realizara la simulación de todo el sistema en general con su lazo de control aplicando control proporcional, PID y on/off; permitiendo encontrar las especificaciones de diseño para describir dichos controladores, para lo cual se determinara los valores de parámetros de estos, sus diversas configuraciones y la región de diseño mediante la ubicación de polos y ceros del producto de las funciones transferencia de las etapas de planta y control. Dichas simulaciones se realizaran con el software Matlab por medio de la librería de Simulink y el toolbox Sisotool.

1. Introducción

Simular y a su vez modelar sistemas reales mediantes ecuaciones matemáticas es una de las herramientas más aplicadas en la ingeniería actualmente.

Hoy en día existe una alta gama de simulación que cumple con lo anteriormente planteado, algunos más utilizados y desarrollados que otros.

Para este caso se va realizar las simulaciones utilizando Matlab ya que es uno de los programas más completos que existen en la actualidad gracias a que su librería Simulink permite analizar la respuesta de dichas ecuaciones matemáticas (generalmente dichas ecuaciones son del tipo ecuaciones diferenciales) por medio de la función de transferencia, y así obtener la respuesta de su comportamiento para estas; también se emplea el toolbox de SISOTOOL que permite determinar la función de transferencia del controlador mediante criterios de diseño, y así saber que valores reales poseen cada componente en este bloque funcional.

2. Modelamiento de la planta

El modelo a analizar para este caso, es un sistema de nivel de líquido, el cual posee dos tanques puesto de forma vertical uno en serie con el otro, además de que estos dos tanques aparte de que son cilindros simétricos poseen las  mismas dimensiones; y cada uno de ellos con sus respectivas válvulas de accionamiento manual que igualmente poseen las mismas dimensiones.

Para el planteamiento de las respectivas ecuaciones diferenciales de esta parte del sistema y su correspondiente transformada de Laplace para la determinación de la función de transferencia, se tomara como base las ecuaciones establecidas por la dinámica de fluidos.

A continuación se mostrara la figura de la planta:

[pic 1]

Figura 1. Sistema vertical de dos tanques en serie (fuente propia)

Ahora se plantearan las ecuaciones diferenciales que modelan esta planta tomando como punto de partido la dinámica de fluidos.

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Ecuaciones 1, 2, 3 y 4. Ecuaciones diferenciales de modelamiento de la planta.[1]

Ahora se aplicara transformada de Laplace en las anteriores ecuaciones, para lo cual se obtiene las siguientes ecuaciones en términos de la frecuencia:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Ecuaciones 5, 6, 7 y 8. Ecuaciones de modelamiento en términos de la frecuencia (fuente propia)

Teniendo en cuenta que qi es la entrada del sistema, q2  la salida del mismo, y que C1=C2 y R1=R2 debido a que ambos tanques y válvulas son iguales en dimensiones; la función transferencia del sistema es la siguiente:

[pic 10]

Ecuación 9. Función de transferencia de la planta (fuente propia)

De esta función de transferencia se modelara el correspondiente diagrama de bloques en Simulink con una señal escalón, para lo cual se determina que la capacitancia C corresponde al area transversal de los tanques, la cual es igual a  por ser forma ciruclar, además  se sabe que el diametro corresponde a 16cm, para lo se determina que dicha area es igual a 0.020106m2, y las resistencias hidraulicas R presentes en las valvulas de accionamiento manual se tiene en cuenta que esta variable es igual al cambio de diferencia de nivel sobre el cambio de velocida de flujo(); y debido a que estos valores no se pueden determinar con facilidad, se puede consisderar que el sistema no es lineal, sin embargo debido a que estos valores poseen cambios mínimos se considera que dicha resistencia es constante, para lo cual se calculara con los valores máximos, que en este caso es la altura del tanque que corresponde a 17cm y el flujo maximo corresponde al cadual la bomba, el cual posee un valor de 500l/h, dando como resultado que la resistencia hidraulica tenga un valor de 1223.0215. De todo esto se reemplaza los valores de C y R en la función de transferencia y se genera dicho diagrama de bloque:[pic 11][pic 12]

[pic 13]

Figura 2. Bloque de la planta en Simulink (fuente propia)

De este diagrama obtiene la siguiente grafica de la señal de salida de la planta en respuesta en el tiempo:

[pic 14]

Figura 3. Respuesta el tiempo de la planta (fuente propia)

Dicha grafica es muy similar a los filtros pasabajos de segundo orden de los sistemas electricos RC, de lo cual se puede deducir que la planta es un sistema de segundo orden que a diferencia de otros sistemas, en este caso no poseee un sobreimpulso y tiende a estabilizarse en un tiempo aporximado mayor a 300 segundos debido a que se modelo con el valor de la resistencia hidraulica maxima. Además el tiempo de estabilidad depende del segundo termino del polinomio del denominador, o sea dependera de los valores que tenga el termino 3RC, ya que debido con que la resistencia es un registro manual, se puede determinar que esta es variable y no solo puede poseer unicamente el valor maximo ya antes calculado.

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