ECUACIONES DE PRIMER GRADO

TALLER 1

1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resolver

a. 4(5-2X)=3X+1 b. 3x– 5 = x - 2

2 3 c. X2 + 7X – 1=(X – 2)2 d. 3 - x+4= 6 – x

2

20-8X=3X+1 3x - x = 5 – 2

2 3 X2 +7X –1= X2- 4X + 4 X – X+4 = 6 – 3

2

-8X-3X= -20+1 7x = 3

6 X2 - X2+7X + 4X = 1+4 2X – X – 4 = 3

2

-11X = -19 X = 3*6

7 11X = 5 X – 4 = 3

2

11X = 19 X = 18/7 X = 5/11 X – 4 = 6

X = 19/11 X = 6 + 4

X = 10

ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Resolver por igualación, sustitución, reducción o determinantes:

a. X + 2Y = 6

X + 2Y = 6 (-3)

3X – Y = -10 (2)

3X – Y = -10

X + 2Y = 6 -3X – 6Y = -18

6X – 2Y = -20 3X – Y = -10

7X = -14 -7Y = -28

X = -14/7

Y = 28/7

X = -2

Y = 4

b. 2X – 4Y = -2

2X – 4Y = -2 (-3)

3X + 2Y = 3 (2) 3X + 2Y = 3 (2)

2X – 4Y = -2 -6X +12Y = 6

6X + 4Y = 6 6X + 4Y = 6

8X = 4 16Y = 12

X = 4/8

Y = 12/16

X = 1/2 Y = 3/4

Resolver por eliminación o determinantes

a. X – 2Y + 3Z = 7 b. 2X + 2Y + Z = 12 (-1)

2X + Y + Z = 4 X + Y + Z = 8

-3X + 2Y – 2Z = -10 3X + 2Y + 5Z = 30

X – 2Y + 3Z = 7 -2X -2Y – Z = -12

-3X + 2Y – 2Z = -10 3X + 2Y + 5Z = 30

-2X + Z = -3

X + 4Z = 18

2X + Y + Z = 4 (-2) X + Y + Z = 8 (-2)

-3X + 2Y – 2Z = -10

3X + 2Y + 5Z = 30

-4X – 2Y – 2Z = -8 -2X – 2Y – 2Z = -16

-3X + 2Y – 2Z = -10 3X + 2Y + 5Z = 30

-7X - 4Z = -18 X + 3Z = 14

-2X + Z = -3 (4) X + 3Z = 14 (-4)

-7X – 4Z = -18

X + 4Z = 18 (3)

-8X + 4Z = -12

-7X – 4Z = -18 -4X – 12Z = -56

-15X = -30 3X + 12Z = 54

X = 30/15

- X = -2

X = 2 X = 2

-2X + Z = -3 (-7) X + 4Z = 18

-7X – 4Z = -18 (2) X + 3Z = 14 (-1)

14X – 7Z = 21 X + 4Z = 18

-14X – 8Z = -36 -X – 3Z = -14

-15Z = -15 Z = 4

Z = 15/15

Z = 1 X + Y + Z = 8

2 + Y + 4 = 8

2X + Y + Z = 4

Y = 8 – 2 – 4

2(2) + Y + 1 = 4 Y = 2

Y = 4 – 4 - 1

Y = -1

2. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Resuelve los siguientes ejercicios:

a. El largo de un campo de baloncesto es 12 metros mayor que su ancho, si el perímetro es de 96 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del campo?

Largo = X+12 Largo = 18 + 12

Ancho = X Largo = 30 m

Perímetro = 2L + 2A Ancho = 18 m

2(X+12) + 2X = 96

2X + 24 +2X = 96

4X = 96 -24

4X = 72

X = 72/4

X = 18

b. La suma de dos números enteros positivos es igual a 12, uno de ellos es el doble del otro. ¿Cuáles son los números?

X + 2X = 12 Los números son 4 y 8

3X = 12

X = 12/3

X = 4

X + 2X = 12

4 + 2(4) = 12

4 + 8 = 12

c. El largo de un rectángulo es el doble del ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 75cm. ¿Cuáles son las dimensiones del ancho y largo?

Largo = 2X Largo = 2X

Ancho = X Largo = 2(25/2)

Perímetro = 2L + 2A Largo = 25 cm

2(2X) + 2X = 75 Ancho = 12.5 cm

4X +2X = 75

6X = 75

X = 75/6

X = 25/2

X = 12.5

d. Un teatro tiene 180 sillas entre preferencia y general. La boleta para preferencia cuesta $5000 y la de general $3000. Si el recaudo de la función de hoy fue de $660000 y hubo lleno total, ¿Cuántas sillas de preferencia y cuantas de general tiene el teatro?

X + Y = 180 X + Y = 180

5000X + 3000Y = 660000 (1/1000) 60 + Y = 180

Y = 180 – 60

X + Y = 180 (-3) Y = 120

5X + 3Y = 660

Hay 60 sillas de preferencial y 120 sillas

-3X – 3Y = -540 de general.

5X + 3Y = 660

2X = 120

X = 120/2

X = 60

3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Resolver por factorización:

a. X2 – 8X + 15 = 0 b. 2X2 + X – 6 = 0 c. 25X2 – 36 = 0

(X – 5) ( X – 3) = 0 4X2 + 2X – 12 = 0 25X2 = 36

X – 5 = 0 ; X – 3 = 0 2 X2 = 36/25

X1 = 5 ; X2 = 3 (2X + 4) (2X -3) = 0 X = ±√36/25

2 X = ± 6/5

2(X + 2) (2X – 3) = 0

2 X1 = 6/5

(X + 2) (2X – 3) = 0

X + 2 = 0 ; 2X – 3 = 0 X2 = - 6/5

X1 = -2 ; 2X = 3

X1 = -2 ; X2 = 3/2

Resolver por formula cuadrática:

a. X2 – 2X = 3 X1 = 2 + 4

2

X2 – 2X – 3 = 0 X1 = 6

2

X = 2 ±√(-2)2 – 4 (1) (-3)

2(1) X1 = 3

X = 2 ±√4 –( -12)

2 X2 = 2 - 4

2

X = 2 ±√16

2 X2= -2

2

X = 2 ± 4

2 X2= -1

b. X = 15

X-2 c. 3X2 – 2X – 5 = 0

X2 – 2X = 15 X = 2 ± √ (-2)2 – 4 (3) (-5)

X2 – 2X – 15 = 0 2 (3)

X = 2 ± √ (-2)2 – 4 (1) (-15)

2(1) X = 2 ± √ 4 – (-60)

6

X = 2 ± √ 4 – (-60)

2 X = 2 ± √ 64

6

X = 2 ± √ 64

2 X = 2 ± 8

6

X = 2 ± 8

2 X1 = 2 + 8 = 10

6 6

X1 = 2 + 8 = 10

2 2

X1 = 5

3

X1 = 5

X2 = 2 – 8 = -6

6 6

X2 = 2 – 8 = - 6

2 2

X2 = - 1

X2= -3

4. ECUACIONES CON RADICALES Y FRACCIONARIOS

a. X + √X – 4 = 4 b. √3X + 1 - √X + 9 = 2

√X – 4 = 4 – X √3X + 1 = 2 + √X + 9

(√X – 4)2 = (4 – X)2 (√3X + 1)2 = ( 2 + √X + 9)2

X – 4 = 16 – 8X + X2 3X + 1 = 4 + 4√X + 9 + X +9

- X2 + 8X + X – 4 – 16 = 0 3X + 1 – 4 – X – 9 = 4√X + 9

- X2 + 9X -20 = 0 2X -12 = 4√X + 9

X = - 9 ± √(9)2 – 4 (-1)(-20)

2(-1) (2X -12)2 = (4√X + 9)2

4X2 – 48X + 144 = 16(X + 9)

X = - 9 ± √81– 80

-2 4X2 – 48X + 144 = 16X + 144

4X2 – 48X + 144 – 16X – 144 =0

X = - 9 ± √1

-2 4X2 - 64X = 0

X = - 9 ± 1

-2 X = 64±√(-64)2

2(4)

X1 = - 9 + 1 = -8

-2 -2

X = 64±64

8

X1 = 4 X1 = 64 + 64 = 128 = X1= 16

8 8

X2 = - 9 - 1 = -10

-2 -2

X2 = 64-64 = 0 = X2= 0

8 8

X2 = 5

c. X = 4__

X + 3 X - 2 X=3±√(36/4+12)

X2 – 2X = 4X + 12 X=3±√21

X2 – 2X – 4X – 12 = 0 X=3-√21≈ -1.58

X2 – 6X – 12 = 0 X1 ≈ -1.58

X=6/2±√(((-6)^2)/4-(-12)) X=3+√21

X2≈ 7.58

5 ECUACIONES POLINOMICAS

Hallar las soluciones:

a. X3 + 2X2 – X – 2 = 0 b. X4 + X3 – 3X2 – X + 2 = 0

r = 1, -1, 2 , -2 p= 1, -1, 2 , -2

1 1 -1 -2

1 q= 1, -1

1 3 2

1 1 -3 -1 2

1

1 3 2 0 1 2 -1 -2

(X – 1) (X2 + 3X + 2) 1

2 -1 -2 0

X2 + 3X + 2 = 0 (X – 1)( X3 + 2X2 – X – 2)

(X + 2) (X + 1) = 0 X3 + 2X2 – X – 2 = 0

X + 2 = 0 ; X + 1 = 0 1 2 -1 -2

1

X = -2 ; X = -1 1 3 2

X = 1, -2, -1 1

3 2 0

(X – 1)( X2 + 3X + 2)

c. 2X4 - 3X3 + 2X2 – 6X - 4 = 0 X2 + 3X + 2 = 0

p= 1, -1, 2 , -2, 4, -4 (X + 2) (X + 1) = 0

q= 1, -1, 2 , -2 X + 2 = 0 ; X + 1 = 0

2 -3 2 -6 -4

2 X = - 2 ; X = -1

4 2 8 4 X = 1, 1, -2, -1

2

1 4 2 0

(X – 2)( 2X3 + X2 + 4X + 2)

2X3 + X2 + 4X + 2

p= 1, -1, 2 , -2, ½, -½

2 1 4 2

-½

-1 0 -2

2

0 4 0

(X + ½)( 2X2 + 4)

2X2 + 4 = 0

2X2 = -4

X2 = -4/2

X2 = - 2

X = ±√-2і

X = √-2і

X = -√-2і

X = 2, -½, √-2і, -√-2і

TALLER 2

1. Resolver las siguientes desigualdades lineales:

a. 8X – 2 ≥ 5 + X b. X – 1 ≥ 2 + X

8X – X ≥ 5 + 2 3 6

7X ≥ 7 X – X ≥ 2 + 1

X ≥ 7/7 3 6

X ≥ 1 1X ≥ 3

6

[1, ∞) X ≥ 3 * 6

X ≥ 18

[18, ∞)

2. Resolver las desigualdades racionales

a. 3X – 2 ≥ -2 b. 7X < 3

2X + 5 7 + X

3X – 2 + 2 ≥ 0 7X - 3 < 0

2X + 5 7 + X

3X – 2 + 4X + 10 ≥ 0 7X – 21 – 3X < 0

2X + 5

...